C. ei B. - II

nous avons donc

F„ dS = F;^ dS' = m dta.

Mais si nous donnons, comme nous Pavons dit plus haut, le

signe -h aux composantes normales dirigées vers rextérieur et le

signe — à celles qui sont dirigées vers Tintérieur, l'équation (3)

devient

F;,rfS-i-F«ofS' = o;

on a donc évidemment, pour toute la surface fermée,

\^ F;iofS = o, c'est-à-dir<î * = o.

Considérons en second lieu {fig. i6) le cas où le point M est intérieur à la surface S. Si nous appelons toujours e/S et rfS' les

Fig. i6.

éléments découpés parle cône d'angle solide rfto dans la surface S, nous aurons encore la relation

Frt ûTS = F;, rfS' = m dio.

Mais les composantes F« et F'^ étant toutes deux dirigées vers l'extérieur sont de même signe; nous aurons donc, pour la surface entière,

\^ F„ ûfS = m \ G^u) .

Mais V diû représente la surface de la sphère de rayon i , c'est-

DÉFINITIONS. — TBÊORÈXR DE GAtSS. 35

à-dire 4^î donc le flux de force total aura pour valeur

Supposons maintenant qu'il y ait des masses à l'extérieur et à l'intérieur d'une surface S.

En chaque point, la composante normale F;j est la somme algébrique des composantes normales, tant intérieures qu*extérieures, dues aux diverses masses agissantes.

Le flux total de force qui sort de la surface S a donc pour expression

en désignant, pour un point de la surface, par ^.//i la somme

des composantes normales provenant des masses intérieures et

par 2 fft la somme des composantes normales provenant des

masses extérieures. Mais le flux de force est nul pour chacune des masses extérieures ; donc

Il reste donc pour expression du llux sortant / ^^./ndS; pour

chaque masse, l'expression //«rfS a pour valeur ^Tzni\ donc, pour Tenserable des masses intérieures, on a

yF„û?S = * = 47r2'"> ou

M étant la somme algébrique de toutes les masses intérieures.

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