DÉFINITION DU POTENTIEL
Supposons un champ électrique créé par une masse m placée
Fig, 17.
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en P {Jlg- 17) et imaginons qu'on déplace de A en B, le long d'un chemin quelconque, une masse électrique positive égale à Tunitéî exprimons le travail des forces électriques pendant ce déplacement. L'élément dt de travail est
et, puisque F :— ^ »
d'où
dt = ¥dr
, mdr ai =. — .— 9
donc le travail total de A en B sera
rB/ my m m
en désignant par / «, r^ les distances de P à A et B.
Le tras;ail des Jorces électriques est donc indépendant du chemin parcouru entre les points A et B.
Si le champ contient plusieurs points, tels que P, P|, P2, . . . , de masses m, /?i«, m^^ ..., le travail de la résultante étant égal à la somme des travaux des composantes, on a
Le travail csr donc la différence des valeurs que prend une même fonction
on ces deux points.
Cette fonction, étudiée par Laplace au sujet de l'attraction universelle en 1799, et à laquelle il donna le nom à^ fonction potentielle, fut appliquée par Poisson aux phénomènes électriques en 181 1; Green en 1828, Gauss en 1889 en firent également l'étude.
On peut donc écrire
T5 = Va-Vb.
La différence de potentiel entre deux points A e/ B est égale au travail exercé par les forces électriques sur l'unité positive d'électricité se déplaçant de A en B.
On a aussi
dT=-dV,
Si le point s'éloigne jusqu'à ce que V = o, le travail total est représenté par l'intégrale
Comme on peut adinetlre que le potentiel est nul à Tinfini, on peut dire, suivant l'énoncé de Sir W. Thomson :
I^ potentiel en un point est le traiail qui serait exécuté sur une unité d'électricité positiK'e par les forces électriques^ si cette unité était placée en ce point sans troubler la distribution électrique et transportée de ce point à une distance infinie; ou, ce qui revient au même, le travail qui doit être accompli par un agent extérieur pour apporter V unité d^ électricité positive d'une distance infinie jusqu^ au point donné.
Calcul de l'intensité du champ au moyen du potentiel. —
Le potentiel défini par V= \] — est donc la somme des quolienls
obtenus en divisant chaque masse agissante par sa distance au point considéré.
On peut montrer qu'il est facile de calculer la force agissante, c'est-à-dire T intensité du champ en un point en fonction du |)0lentiel.
En effet, le travail effectué pour passer d'une surface de niveau à ime autre très voisine {fi g- i8), en des points où les potentiels
ig. i8.
êL(iD.y.Kj
ont des valeurs V^, Vb, est, si l'on désigne par dn l'élément recliligne de ligne de force joignant A et B et par F la force en A,
F dn = Va - Vb
rfV.
Ce qui montre que : La force en un point est égale et de signe contraire à la dérivée du potentiel par rapport à la normale à
la surface de niveau qui passe par ce point, puisqu'on a
an
Il en serait de même suivant une direction quelconque, la composante et la dérivée partielle étant prises suivant la même direction.
