PROPRIÉTÉ DES DÉRIVÉES PREMIÈRES DU POTENTIEL

Pour nous familiariser avec Tétude de cette fonction, nous ferons voir qu'on peut arriver, en étudiant directement l'action des masses agissantes sur Tunité de masse, à démontrer que la fonction V possède cette propriété, que ses dérivées premières donnent, changées de signe, les composantes de la force.

Soient trois axes fixes O^, Oy , Oz {Jig- 1 9); supposons au poin t A , de coordonnées j:, y y ^, une masse i d'électricité, et en des points M, M', . . . , de coordonnées a, ^, y, . . . , a', jî', y', . . . , des masses m et m' d'électricité placées à des distances r, /', ... du point A.

La force qui s'exerce entre A et M est dirigée suivant AM et a pour expression, d'après la loi de Coulomb,

Cette force est dirigée de A vers M ou de M vers A, suivant que les masses m et i sont des masses d'électricité de même nom ou de noms contraires.

Les trois composantes de cette action sont

L'action totale des masses m, ni\ . . . donnera de même trois composantes

Désignons ces composantes parX, Y, Z; si les masses m, m', ... constituent un tout continu, les sommes qui expriment ces composantes deviennent des intégrales; ce sont des fonctions de ^,

4o ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

y, z qui donnent les composantes de l'action des masses m^ m', . . . sur le point P de masse i .

Considérons la fonction

la distance r étant donnée par la relation

Cette fonction de ^, y, z présente une difficulté dès que le point A est noyé dans les masses zn; car alors, pour certaines valeurs de x, y, z^ r est nul; certains termes de la somme deviennent infinis.

Nous écarterons le cas où le point A est noyé dans les masses agissantes, et nous étudierons seulement le cas où le point A leur est extérieur.

I. Point extérieur. — Supposons A extérieur aux masses m, les fonctions X, Y, Z, V sont des fonctions continues de ^, j', z. Dérivons V par rapport à a: : il vient

âx ~"~ 2d r « âx

dr X — a

àx ~ r

L'expression de ^ est égale et de signe contraire à celle deX; on a donc

et de même

Or

donc

et

âx ~

àz

On retrouve ainsi que la fonction V jouit de la propriété énoncée.

11. Point intérieur, — Dans le cas où la masse i est plongée dans les masses m^ Tétude de la fonction V est un peu plus difficile; nous indiquerons seulement les résultats :

1** Dans ce cas les composantes X, Y, Z et la fonction V sont encore finies.

2** Cette fonction V, dérivée par rapport à jTjJ", z^ donne encore

— X, — Y, — Z. Tout se passe donc comme si Ton faisait abstraction des éléments de la somme fournis par une sphère de rayon très petit entourant immédiatement ce point.

Nous ajouterons que le potentiel revêt une forme différente quand le point A est à l'extérieur des masses agissantes ou au milieu d'elles.

Forme du potentiel dans quelques cas particuliers. — Cherchons Texpression du potentiel dans quelques cas simples.

i" Couche sphérique mince : A. Point extérieur à la sphère.

— Soient une couche sphérique mince de rayon R, et uu point A à

Fig. 20.

une distance OA = D du centre O {Jig- 20) ; soit m la masse de la couche.

L'action de la masse m sur l'unité de masse en A est — ^>

puisque l'action d'une couche sphérique homogène infiniment mince sur un point extérieur est la même que si la couche était

transportée en son centre. La fonction potentielle est donc ^ •

B. Point intérieur à la sphère. — L'action dans ce cas est nulle; donc le potentiel est constant en tous les points; or pour

le centre il a une valeur ^•

Le potentiel pour tous les points situés à l'intérieur de la sphère

est donc -^«

2** Couche d'épaisseur finie. Sphère : A. Point extérieur, — Transportons successîvemenl au centre toutes les couches infiniment minqes qui /constituent la couche d'épaisseur finie; soit M la niasse totale, le potentiel est -^ en un point A situé à distance D du centre.

B. Point intérieur: a. Potentiel d'une couche finie en un point de V intérieur du petit cercle, — Considérons une couche infiniment mince de rayon r{fig, 21); soient 4f 'la surface, A/l'é-

Fig. 2?.

paisseur. Supposons l'électricité uniformément répartie dans toute la couche, et soit p sa densité cubique; la masse électrique est

ni = 4 ^p /*" ^r.

Le potentiel est donc

Intégrons et prenons les valeurs limitées à la couche, c'est-à-dire àRetD.

Le potentiel a pour expression

V=27rp(Rî— Dî).

p. Potentiel d^une sphère pleine en un point placé dans son intérieur, — Faisons passer une sphère de rayon D par le point x\, (fig- 22) : la masse est décomposée en deux; le point A est à l'intérieur de l'une, à l'extérieur de l'autre.

Le potentiel de la sphère de rayon D en A est

Celui de la couche sphérique comprise enlre les splières do rayons R et D est

a7:p(Rî-D«).

On a donc

V = 2Trp(R2-.D»)-f- |7upD*

La forme de la fonction V est donc bien différente quand le point A est à Texlérieur ou à Tinlérieur de la sphère de rayon K à une distance D du centre.

Point extérieur ^ = - irp •=:- >

Point i

nlérieur V = airp ( R* — -- j •

on a