PROPRIÉTÉ DES DÉRIVÉES SECONDES
Cas du point extérieur. Équation de Laplace. — Soit
donc
et de même
-— = — 7—2 - - = — > fn(x — a)r-3;
Ox^
Faisons la somme <>îV d^ d^\
Celle somme se représente parle symbole AV; on écrit donc
AV = o.
C'est Téquation de Laplace.
Cas du point intérieur. Équation de Poisson. — AV prend une autre forme.
Nous avons montré que, dans le cas particulier où le point A est dans rintérieur d'une sphère de rayon R, si D représente la distance de ce point au centre, on a
on en déduit
donc
cA, par suite,
ce qui s'écrit
^y = — iT:p.
Ce résultat est général. Prenons une masse quelconque continue supposée homogène et une masse A noyée dans l'intérieur. Imaginons autour de A une sphère ne coupant pas la surface ^ soient, pour ce point A, V le potentiel total, V| le potentiel de la masse moins la sphère, Vj le potentiel de la sphère : on a
V = Vi-hV,
et
AV= AVi-HAVj;
or V| est un potentiel en un point extérieur : donc
AV2 a la valeur que nous avons déterminée dans le cas d'une
sphère
AV, = - 4itp:
donc
aV=— 4'ïtp.
C'est l'équation de Poisson.
Ces deux théorèmes peuvent s'énoncer ainsi :
La somme en un point des trois dérii'ées secondes partielles du potentiel par rapport à trois axes rectangulaires est égale et de signe contraire au produit de ^r. par la masse agissante en ce point.
Cette somme est nulle quand il «> a pas d'électricité au point considéré.
Cette fonction AV fut étudiée sous sa première forme par Laplace, dans ses recherches sur l'attraction universelle, et c'est en souvenir de ce savant qu'on lui donne depuis longtemps, en Angleterre, le nom de ihe Laplacian function, et plus couramment on la nomme en France la Laplacienne.
Cette relation conduit à une expression commode du théorème de Green, qu'on appelle Informulé de Green.
Si l'on appelle a {fig- aS) l'angle de la normale à la surface avec la direction de la force en un point, on a
F„= Fcosa.
Appelons a la normale à la surface de niveau, n la normale à la surface S considérée : on a
da F - ^^
Remplaçons dans la formule qui exprime le théorème de Gauss :
il vient
an
et
• dS cosa = 4~M,
J da ^
qui sont deux nouvelles expressions de ce théorème. Mais on peut écrire
M = / p dvy
la masse totale étant la somme des masses p rfr comprises dans les différents éléments de volume; donc
et, comme AV = — 4''^?»
