THÉORÈME DE COULOMB

La force électrique en un point infiniment voisin d*un conducteur en équilibre, quelles que soient d'ailleurs les masses agissantes, est égale à la densité électrique superficielle o-, dans le voisinage de ce point, multipliée par le facteur constant ^tz.

Considérons, en effet, le tube de force ayant pour base un élément rfS de la surface {fig* ^5) et formons avec lui un volume fermé en le limitant, d'une part, en dehors par une surface de niveau infiniment voisine S', d'autre part, en le prolongeant à l'intérieur d'une manière quelconque et le fermant par une surface arbitraire S"; appliquons le théorème de Gauss à ce volume. Nous remarquons que le flux de force se réduit à celui de l'élément rfS' de la surface extérieure, puisque la force est nulle pour toute la partie de la surface fermée comprise à l'intérieur de la surface S et puisque la composante normale à la surface du canal est nulle.

L'expression du flux de force sera donc FrfS', si F désigne la force électrique en rfS' comptée vers l'extérieur de la surface; et l'expression de la quantité totale d'électricité enfermée dans le volume considéré sera o-rfS, si l'on représente par o- la densité superficielle sur l'élément rfS; on aura donc

et, puisque rfS et rfS' sont sensiblement égaux et que, d'aulre part, on a

on peut donner du théorème de Coulomb les deux expressions C. et B. — II. 4

5o suivantes :

F = 4Tt<j, dn

La densité en un point a donc pour expression

^Tz dn

L'analyse montre que le problème de la distribution sur un conducteur ne comporte qu'une solution; si donc la charge devient double, triple, etc., la densité en chaque point deviendra double, triple, etc. Il en sera de même du potentiel et du champ électrique en un point quelconque.