COUCHES SPHÉRIQUES
La considération de masses électriques (ou magnétiques, ou matérielles), distribuées sur une sphère en une couche uniforme et dont l'action s'exerce en raison inverse du carré de la distance, conduit à énoncer deux théorèmes d'une application fréquente.
Théorème I. — L'action d'une couche spkérique homogène infiniment mince sur un point intérieur est nulle.
Par le point A (fig. 4) intérieur à la surface sphérique S, où se
trouve une masse électrique égale à l'unité, menons un cône d'ouverture infiniment petite qui découpe sur la sphère, à des distances r{1 r2, des éléments rfS|, dS2 dont les charges respectives sont, en appelant <j la densité uniforme de la couche sphérique homogène (c'esl-à-dire la charge par unité de surface), o-rfS, et <r<fS2.
Les forces électriques </H, et dH2 directement opposées, résultant
de l'action de ces éléments sur l'unité de masse en A; ont comme
expression
dHz
rfH1==K^,
dH2 = K
mais les sections dSt et dS2 du cône, étant également inclinées sur
CHAP. II. — LOIS DE COULOMB. l3
son axe, sont proportionnelles aux carrés de leurs distances au sommet A; on a donc
et par suite
dHx=d\\î.
On peut découper, de même, toute la sphère en éléments dont les actions en A se détruisent comme étant égales et opposées; l'action totale de la couche en un point intérieur est donc nulle.
Théorème II. — L'action d'une couche sphérique homogène infiniment mince sur un point extérieur est la même que si toute la masse était concentrée au centre de la sphère.
Soit, en effet, une couche sphérique mince de rayon R, de densité a-, de masse totale m = 4tcR2<j, et un point A à la distance D du centre O; supposons l
en ce point l'unité de masse électrique, la résultante des actions des masses électriques réparties sur la couche est, par raison de symétrie, dirigée suivant OA.
La masse répartie sur un élément dS en P {feg. 5), à distance rf, exerce en A une action rfH dont la composante suivant OA est, si l'on appelle a l'angle PAO,
dW cos a = K — r— cos a.
\ Soit PA'une droite faisant avec PO, dans l'intérieur de l'angle OPA , un angle a; les triangles A' PO, APO sont semblables ; on a donc
A/P R OA\ d "D" R ;
cette équation montre que le point A7 est fixe; remplaçons d par sa
valeur
,„ „ cr dS R*
ail cos a = K , -^ cos a,
A'lJ
dS
l'expression ==7 cos a est l'angle solide dio sous lequel du point
i \ KLECTRICITÉ BTATIQI I
fixe A' on voit l'élément r/S; on peut donc écrire
d\\ rosa = Kg ^ttï?
l'action de la couche entière est donc
jrKîRî Km
.1 à*$fém<
ce qui est précisément l'expression de Faction, sur l'unité d>
en À, d'une couche de niasse m conccnlréc au centre de la sphère.
