CALCUL DE L'ACTION RÉCIPROQUE DE DEUX FEUILLETS
Cherchons pour faire ce calcul l'action d'un élément ds du premier feuillet sur un élément ds' du second.
Portons l'origine en ds' (fi g* 189) et prenons la direction de ds
pour axe des x : Tac- F»S- l89- tion /' résultant de ds
* est dans le plan zoy\
sa composante d% sera donc nulle, et nous aurons
drt'*= 5'ttds' sinç'cosO, dï= 3'Kds' s'infsmb
ou
drt' = .i'Zds', < = — ,f Yefc';
remplaçant Y et Z par leurs valeurs tirées des formules (4), il vient d*'=o.
en remarquant que l'on a
y d.r — jt dv x* . / y .
ces formules (5) représentent Faction de tout le feuillet M sur un élément ds1 du feuillet M'.
On peut donc, d'après cela, représenter l'action d'un élément ds du feuillet M sur un élément ds' du feuillet M' par une force / dont les trois composantes auront pour valeurs respectives
f, = -*t«%d{Z), Remarque. — Nous pouvons ajouter à ces composantes des difle-
2;o ELECTRICITE DTXAMIQL'E ET MAGNETISME.
rentielles exactes des coordonnées x, y, z, puisque leurs intégrales, étendues au contour entier du feuillet M, seront nulles.
Soient 8, H, W des fonctions de x, y, z : nous pouvons ajouter *j*ifyifz respectivement les différentielles dE, d&, dW et nous aurons ainsi
IfK=$3tds'[dZ]i
Cas où la force est dirigée suivant la droite OM. — Nous pouvons profiter de l'indétermination des fonctions S, 6, W pour imposer à la force f une condition, par exemple celle d'être dirigée suivant la droite qui joint les deux éléments ds et ds1.
Cette condition géométrique se traduit analvtiquement par les équations
nous portons ces conditions dans les équations (8) : il vient
ri r*1 \x)\ ~ x1 ~
et, par suite,
11 faut, pour que l'opération que nous avons faite soit légitime, que les seconds membres de ces deux dernières équations soient des différentielles exactes d'une fonction des coordonnées x, y, z; il faudra donc que Ton ait
<«) dz=<i^y
ce qui nous donne, par suite, en remplaçant rfH par sa valeur et en se rappelant la formule de la différentialion d'un produit,
ou
Remplaçons, dans les formules (8), dE, rfO, dW par leurs valeurs (a), (6), (c), et il vient
(9) \sr=*'fds'{fl(lï)-%d(ï)}
pour déterminer la force / elle-même, nous remarquerons que
Ton a
fx = x °U / = /-*;•
ce qui donne, en remplaçant/* par sa valeur (9),
/=J**-^(£); effectuons la différentiation et les opérations indiquées, il vient
. *\$f ri*' ( . 3 X \
et, en prenant les dérivées par rapport à ds,
, iH'ds' Idx 3 dr\ .
f=—?ï-\lh-->.Ts)ds-
Remarquons maintenant que, si nous appelons X et V les angles des éléments ds et dsr avec OM, et e l'angle de ds avec dsf, nous
aurons
dx = ds cos s ,
x = r cosX', dr = ds cos A,
ce qui nous donne, en définitive, pour expression de la force élémentaire/, exercée entre deux éléments de contour de deux feuillets M et M', en remarquant que, si nous admettons que cette force soil répulsive, il faut en changer le signe,
, v - ifftdsds' ( 3 . v\
(10) / = ^ ( cose cosAcosA 1.
Transformation de l'expression précédente. — L'expression (10) que nous venons de trouver pour valeur de l'action élémentaire
Fig. kjo.
de deux éléments de contour se prête mal à l'évaluation du travail :
nous allons la transformer en conséquence.
Soient {fig: M)°)S» S' les contours des deux feuillets, sur chacun desquels nous considérons des éléments ds, ds'. Soient O et O' les points fixes des deux contours qui seront des points origines des arcs. Nous avons d'après la figure, en appelant r la distance PP,
dr >f dr
COSÀ = ï-> COSA = -r-, •
ds fis
Soient P' et P les extrémités de l'élément ds. Abaissons de ces points des perpendiculaires P'Q', P"QV sur la tangente en R, nous avons
|><r = /• cosA -+- +—j-, — - ds' ;
d'où, en retranchant
ds1
d(r cosX) , ,
ds'
ds';
mais, d'autre part, e étant l'angle de deux éléments, nous avons
O'<r = r/s'oose;
donc
d'où nous lirons
d(r cosa ) . , . .
r, — (fs = as coss.
as
d( r rosX ) ds~'
Remplaçant cosX par sa valeur,
-''(/s) drdr
ds as as as as
<mi substituant celle valeur dans l'expression de/, il vient
tlZS' d$ tls' (dr dr d* r 3 dr dr \
1 = r* \ds ds' "'' rds~~ds' ~ l~ds ds'/'
-iffi'dsds' ( <l*r 1 dr- dr\ '" r*"""" \rdTds' :>. ds ds'/'
Pour trouver une forme plus commode de cette expression, remarquons que l'on a
dïjr __ i d*r i dr dr
ds ds' ~~ 7 JJ. ds ds' j r JJ, ds ds'
d* )/r __ i / d* r 1 dr dr\ #
dsds' "" 2rv/7 \ ' dsds' ~~ 7i ds 'ds') '
remplaçons et nous aurons, en définitive,
43$' dsds' d*i/r
fî ds ds'
168. - EXPRESSION DE L'ÉNERGIE. - FORMULE DE NEUMANN. Expression de l'énergie. — Imaginons que le feuillet S s'éloigne «le S'; la distance r qui sépare ds de dsf s'accroît de -Trdt, ou, pour
mettre en évidence l'expression y/r, s'accroît de i\jr-^-dl. Le travail correspondant de la force/ est donc/x 2y/7— ^rf£, de sorte que le travail total, relatif à l'élément ds pendant la durée dt, sera
cette intégrale est de la forme / u.dv. On peut intégrer par parties, et il vient
dt dsds' S ~ dt ds J ds ds' dt le premier terme est nul pour un circuit fermé S'. Il reste donc
et, si nous prenons le travail élémentaire relatif aux actions des deux circuits pendant l'intervalle dt, nous aurons
comme le travail doit avoir une expression symétrique par rapport
à ds et ds\ on doit avoir aussi
prenons la demi-somme de ces deux expressions pour valeur de fà
dG=-iM>dtj j v dsdtd>' / ds**',
dG=- \$f dtjj *-£*£- ds ds'.
Si l'un des feuillets s'éloigne jusqu'à l'infini, on aura l'expression de l'énergie relative W des deux feuillets
Formule de Neumann. — On a
djr d)/r \ dr dr i > >, r dr r
ds ds 4 r ds ds 4 '" i ds ds
Ton pourra donc écrire
\\ =.Kf' J I dsds',
la seconde intégrale peut s'intégrer par parties
J rd7 ds(/s - (dïj-J 7 -dï—<h-
Le premier terme est une différentielle, exacte : il sera donc ■ quand il sera étendu au contour fermé S'. Il reste
f. „"}■,. ÇA'lk),.
I ' -j- -rrds - — / . (/s ,
J ds ds J r <is
Donc nous aurons finale mont
esl la formule de Ncumann.
D'après ce que nous avous vu plus haut on a aussi
onc nous avons, pour valeur du coefficient d'induction,
