POTENTIEL ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Le potentiel produit par un courant fermé, en un point P oit se trouve placée l'unité de magnétisme positif, est, à une cou-
Fijî. rï6.
s ta nte près, proportionnel à l'angle solide sous lequel on voit, du point P, le contour du courant considéré.
Nous démontrerons d'abord ce théorème pour un courant recti ligne indéfini, puis pour un courant angulaire, enfin pour un courant fermé triangulaire : nous étendrons alors le résultat au cas d'un circuit de forme quelconque, plan ou gauche.
i° Courant rectiligne indéfini. — Dans ce cas, les lignes de
force sont des circonférences concentriques.
Prenons {fi g* 23t3) le courant pour axe des z et pour plan des xy un plan perpendiculaire passant par le point P où se trouve située l'unité de magnétisme positif. D'après les lois de l'électromagnétisme, le courant tendrait à faire tourner le poinl P autour de o. Soit P' une nouvelle position de P : le trava^ élémentaire serait
</£ = .TC x PP\
.TC étant le champ du courant. Appelons / la distance Po : la v^^1 lion do l'angle a étant <7a, on a
I»|>r = / c/a, donc d&-=K,!dz.
Or, d'après la loi de Biot et Savart (187), on a
.1C/ --•- /■*, «loue d& = Àidxy
dQ
exprimons que ce travail est égal et de signe contraire à la varia de potentiel, il vient :
dX ^/dd$ et, en intégrant,
\ --Àip + C.
Or [3 est l'angle plan du dièdre formé par le plan Poz et pal
un
CHAP. VI. — ÉLECTROMAGNÉTISMK. 3 1 5
plan passant par P et parallèle au plan zox. Si nous imaginons, du point P comme centre, une sphère de rayon i, ce dièdre découpera sur sa surface un certain fuseau dont la surface w est mesurée par >. J3 ;
donc 3 = -> et nous avons
C élant la constante d'intégration. Par conséquent :
Le potentiel produit en P par un courant rectitigne indéfini
est, à une constante près, proportionnel à l'angle solide sous
lequel, du point P, on voit un plan indéfini dans un sens et
limité, dans Vautre, par le courant.
Cet angle sera pris avec le signe (-h) ou le signe ( — ) suivant que
du point P on verra la face positive ou la face négative du courant.
2° Courant angulaire. — Il semble qu'il soit possible de déduire la valeur du potentiel d'un courant angulaire de celle que nous venons de trouver pour un courant rectiligne indéfini : il n'en est rien, et Ton hl^' 22'*
conçoit même que ce ne soit pas une 5|
déduction logiquement réalisable, car ' v 4 .
le courant rectiligne est indéfini dans i +/ /
les deux sens, tandis que le courant / /
angulaire a ses deux branches tertni- „> -•*»
«m à leur commun sommet. '£' "A ~ ~~ ^ x
Mais l'expérience de Biot et Savait ' v B
relative aux courants angulaires va / ^s.
nous montrer que, même dans ce cas, *•! u"
en multipliant par l'intensité du courant l'angle solide sous lequel on voit, en un point, le courant considéré, on obtient le potentiel produit en ce point par le courant.
Considérons (Jig. '2*4) un courant angulaire AOB et prenons un point P. Si le potentiel produit au point P par le courant est égal à l'angle solide sous lequel on voit du point P l'angle indéfini AOB, il faudra, pour avoir l'expression de ce potentiel, résoudre le triangle sphérique formé par l'intersection de la sphère de rayon i avec le trièdre (PO, PA', PB'). Si x, y, z désignent les coordonnées du point P, Taire de ce triangle sera
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co = -2 arc sin -%r— -=-=- ; /
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