PROPRIÉTÉ DES DÉRIVÉES PREMIÈRES DU POTENTIEL
Pour nous familiariser avec l'étude de la fonction potentielle, doua ferons voir qu'on peut iinivr, m étudiant directement l'actioti des masses agissantes sur l'uni Le de masse 7 à démon Irer que la fonction V possède cel te propriété, mç
> dt Privées prêta iè / es do n/t changées de signe, les composantes de ta fui
Soient trois axes fixes (J.r, n i , Qz (Jîg* ai); supposons au A, de coordonnées x7 >*, ;t,unc masse i d'électricité, et en des "* points M, M', . . . , de coordon
a, p, y, ..., a', ï\ v\ . . ., des masses q et 7 d'électricité placée!
à des distances r, /*', . . . du point A.
La force qui s'exerce entre A et M est dirigée suivant AM et a pour expression, d'après la loi de Coulomb,
Cette force est dirigée de À vers M ou de M vers A, suivant que les masses q et 1 sont des masses d'électricité de même nom ou de noms contraires.
Les trois composantes de celte action sont
kS,îzU.
L'action totale des masses q, qff « . , donnera de même trois composantes
Désignons ces composantes par X, Y, L\ si les masses q, q\ . , constituent un système continu, les sommes qui expriment ces composantes deviennent des intégrales ; ce sont des fonctions de xyy3 z qui donnent les composantes de l'action des masses my m\ . . « sur le point A de masse 1.
Considérons la fonction la distance r étant donnée par la relation
r*=(a.a)lH(<r P)!-*-(3-T)î.
L'élude de cette fonction de x, y, z présente une difficulté dès que le point A est noyé dans les masses q ; car alors, pour certaines valeurs de x, yy 5, r est nul; certains termes de la somme deviennent infinis.
Nous écarterons le cas où le point A est noyé dans les masses agissantes, et nous étudierons seulement le cas où le point A leur est extérieur.
I. Point extérieur aux masses agissantes. — Supposons A extérieur aux niasses gr, les fonctions X, Y, Z, V sont des fonctions continues de x,y, z.
Dérivons V par rapport à x : il vient
OX Àtd /'* dx
Or
ir— ==a(ar— «);
donc
dr x — a
àx ~~ r et
dV dx
= yK££^.
L'expression de j- est égale et de signe contraire à celle de X; on
àx a donc
dx
et de même
dy Aà /•» r
JÏ=VKil^I = -Z.
dz Â+ r* r
On retrouve ainsi la propriété énoncée.
