II. Point intérieur aux masses agissantes. — Dans le cas où
\X KLECTRICITK ST\TI<
la masse i est plongée dans \v> masses //?, l'étude de la fonction V est mi peu plus difficile; nous indiquerons seulemeb! les résultats:
y0 Dans ce ra* les composantes \, Y, Z cl la fonction V sont encore finies.
2n Celte fonction V, dérivée par rapport 1 x, r, zt donne encore — Y, — Y, — Z. Tout se passe donc comme si Ton faisait abstrtCH Mini des éléments de la somme fournis par une sphère de rayon très petit entourant i m m éd Salement ce point.
Nous ajouterons <[iie le potentiel revêt une forme différente <|iiand le poïtil A est à L'extérieur des masses agissantes ou au milieu d'elh
23. - EXPRESSION DU POTENTIEL DANS QUELQUES GAS PARTICULIERS. Cherchons l'expression du potentiel dans quelques cas simples. 1° CoUCHB Sl'HÉu [QUI MIKCE l A. Pûlflt i U
extérieur à fia sphère. — Soient une couche sphérique mince de rayon lï, eJ un point A à une distance OA— 1) du centre O {Jig* $*)î soil q la masse de la couche.
L'action de la masse q sur l'unité de masse en Aesl lv^? puisque
l'action d'une couche sphéiique homogène infiniment mince sur un point extérieur est la même (pie si la couche était transportée en
SOU centre, La fonction potentielle a donc pour expression K~-
B. Paint intérieur à la sphère. — L'action dans ce cas est nulle; donc le potentiel est constant en tous les points; or, pour le centre
il a une valeur K^»
Le potentiel, pour tous les points situés à l'intérieur de la sphère.
est donc &&■
II résulte de là que si Ton représente les variations du potentiel pour un point qui se déplace depuis le centre jusqu'à l'infini, elles seront figurées de O en À par une droite O'À', puis par une portion
d'hyperbole équilatère A'A't; il y a discontinuité au point À au moment du passage à travers la couelie {Jig* a3).
2° Couche d'épaisseur fimi:. Sphère : A. Point extérieur. —
Transportons successivement au centre toutes les couches infiniment
minces qui constituent la couche d'épaisseur finie; soit Q la masse
KO totale, le potentiel est -^ en un point
A situé à distance D du centre.
Fig. 23.
B. Point intérieur : a. Potentiel d'une couche finie en un point de l'intérieur de la petite sphère. — Considérons une couche infiniment mince de rayon r comprise dans l'épaisseur de la couche finie (fig* a4)î soient ^izr2 sa surface, Ar son épaisseur. Supposons l'électricité uniformément répartie dans toute la couche, et soit p sa densité cubique; la masse électrique est
q = $T:pr} Ar.
Le potentiel est donc r R
KjXl
Intégrons et prenons les valeurs limitées à la couche, c'est-à-dire à R et D.
Le potentiel a pour expression
V = ai:Kp(Rî— D*).
jï. Potentiel d'une sphère pleine en un point placé dans son
Fig. 2$.
Fig. 25.
intérieur. — Faisons passer une sphère de rayon D par le point A (Jig* 25) : la masse est décomposée en deux; le point A est à l'intérieur de l'une, à l'extérieur de l'autre.
ou
Le polentiel de la sphère de rayon D en A est
frKpD»
D =f*KpD..
Celui de la couche sphérique comprise entre les sphères de rayons R et D est
2*Kp(R*— D*).
On a donc
V = frirKp(R«- D*)-+- |*KpD*
V = '2icKp^R«— yV
La forme de la fonction V est donc bien différente quand le point A est à l'extérieur ou à l'intérieur de la sphère de rajon R à une distance D du centre.
Point extérieur V = ^7iKp-=- >
Point intérieur V = a7iKp( R1 — )•
