PROPRIÉTÉ DES DÉRIVÉES SECONDES

Cas d'un point extérieur aux masses agissantes. Équation de Laplace. — Soit

on a

donc

£-,- =-K?2^î['-3'-'(^-«)«J et de même

Faisons la somme

(ta* C^1 <^5*

= -K^2r-»J3-3/^[(x-ot)»-+-(^-P)*-+-(5-ï)«Jj.

La quantité entre [] étant égale à r2, il en résulte que l'expression entre \\ est nulle; on a donc

dx* "*" dy* ~*~ ôz* ~~ °*

Cette somme se représente par le symbole AV; on écrit donc

AV = o.

C'est l'équation de Laplace.

Cas d'un point intérieur aux masses agissantes. Équation de Poisson. — Dans ce cas AV prend une autre forme.

Nous avons montré que, dans le cas particulier où le point A est dans l'intérieur d'une sphère de ravon R uniformément chargée, si D représente la distance de ce point au centre, on a ,

V = 27rKp(R*- y);

on en déduit

Ox i '

Jonc

ilT par suite,

dx*

dy* oz*

ze qui s'écrit

AV= — 47iKp.

Ce résultat est général. Prenons une masse quelconque continue supposée homogène et une masse A dans l'intérieur. Imaginons autour de A une sphère ne coupant pas la surface; soient, pour ce point A, V le potentiel total, V| le potentiel de la masse moins la sphère, Va le potentiel de la sphère : on a

v = v, + vt

AV = AV1-+-AVÎ;

or V| est un potentiel en un point extérieur aux masses agissantes :

donc

AV,= o;

AV2 a la valeur que nous avons déterminée dans le cas d'une sphère

AV,=rr — 47cKpï

AV = — 4irKp.

donc

C'est l'équation de Poisson.

Ces deux théorèmes peuvent s'énoncer ainsi :

La somme en un point des trois dérivées secondes partielles du potentiel par rapport à trois axes rectangulaires est égale et de signe contraire au produit de 4^K. par la masse agissante en ce point.

Cette somme est nulle quand il n'y a pas d'électricité au point considéré.

Cette fonction AV fut étudiée sous sa première forme parLaplace, dans ses recherches sur l'attraction universelle, et c'est en souvenir de ce savant qu'on lui donne depuis longtemps, en Angleterre, le nom ro de the Laplacian function, et plus couramment on la nomme en France la Laplacienne. Cette relation conduit à une expression commode du théorème de Gauss, qu'on appelle la formule de Grecn.

Si l'on appelle a {fi g. a6) l'angle de la normale à la surface avec la direction du champ en un point, on a

Un= II cosa.

Appelons a la normale à la surface de niveau, n la normale à la surface S considérée : on a

dV fia

d\ dn

Substituons dans la formule qui exprime le théorème de Gauss : il vient

.— dS cosa — 4^ KO.

(ta

qui sont deux nouvelles expressions de ce théorème.

Mais on peut écrire

Q=fpcivy

la masse totale étant la somme des masses p dv comprises dans les différents éléments de ce volume; donc

/Srfs=-/4*K?<*,>

H, comme AV = — 4~Kp,