THÉORÈME DE COULOMB

L'intensité du champ en un point infiniment voisin d'un conducteur fermé en équilibre, quelles que soient d'ailleurs les masses agissantes, est égale à la densité électrique superficielle a-, dans le voisinage de ce point, multipliée par le facteur constant 4«K.

Considérons, en eflfel, le tube de force ayant pour base un élément dS de la surface (Jig* 3i) et formons avec lui un volume fermé en le limitant, d'une part, en dehors par une sur- Fi8- 3l- face de niveau infiniment voisine S', d'autre

pari, en le prolongeant à l'intérieur d'une manière quelconque et le fermant par une surface arbitraire S"; appliquons le théorème de Gauss à ce volume. Nous remarquons que le flux de force se réduit à celui de l'élément rfS' de la surface extérieure, puisque la force est nulle pour toute la partie de la surface fermée comprise à Tintérieur de la surface S et puisque la composante normale à la surface du canal est nulle.

L'expression du flux de force sera donc H rfS', si H désigne l'intensité du champ en rfS' comptée vers l'extérieur de la surface; et l'expression de la quantité totale d'électricité enfermée dans le volume considéré sera o-JS, si Ton représente par o- la densité superficielle sur l'élément rfS; on aura donc

II</S'=.fi:K<r</S,

et, puisque les éléments rfS et rfS' sont sensiblement égaux et que, d'autre part, on a

Il - dY 11 "dïf

on peut donner du théorème de Coulomb les deux expressions suivantes :

II rr'^Kff,

Il est facile de vérifier ces formules dans le cas d'une couche sphé-

CHAP. VI. — APPLICATIONS DES THEOREMES GÉNÉRAUX

w\ue; on a, en effet, immédiatement les égalités

et

4tcR*

H = K^=4*Kcr.

Le théorème de Coulomb conduit à l'expression de la densité en

un point

i dV

°~ 4nK dn'

L'analyse montre que le problème de la distribution sur un conducteur ne comporte qu'une solution; si donc la charge devient double, triple, etc., la densité en chaque point deviendra -double, tripl^, etc. Il en sera de même du potentiel et du champ électrique en un point quelconque.