ACTION DES SURFACES PLANES UNIFORMÉMENT CHARGÉES
i° Disque plan. — Nous nous proposons de chercher le champ produit en un point de son axe par un disque Fi8- 3aplan uniformément chargé d'une couche infiniment mince; le théorème de Coulomb n'est pas applicable puisque la surface n'est pas fermée; nous chercherons directement l'expression du potentiel pour en déduire l'intensité du champ.
Soit R le rayon du disque, P un point de l'axe à distance n (fig* 32) ; considérons un anneau de rayon r et d'épaisseur dr\ la masse électrique qui le charge
est
dq = inr dru,
le potentiel élémentaire produit en P est
jxr ir dq iizaKrdr
dV = K--F — l =
Le potentiel dû au disque entier est " itzKv rdr
= 27cK<x(/R*-h/i« — n).
L'intensité du champ en P est donc
H = - -j— =-2rK(i| = —i V= — 2rKs(cosa — i),
rf'4 \v/R*+/i* / V '
a étant l'angle sous lequel du point P on voit le rayon du disque; pour un point infiniment près de la surface
et, par suite,
H = 2i:Kj.
Fig. 33.
a0 Plan indéfini uniformément chargé. — Pour varier les méthodes, calculons l'intensité du champ en P; elle est, par raison de symétrie, dirigée suivant P/>.
Prenons un élément rfS {fig. 33); la charge est o-rfS, l'intensité en P sera
et sa composante suivant Pp aura pour valeur
dS
adS cosa
Or -^— est l'angle solide rfw
sous lequel, de P, on voit rfS ; donc, en définitive, II = / k = K <j ! dM ;
pour le plan indéfini / dtù =27: et, par suite,
II = «27TK*,
formule qu'on déduit d'ailleurs de l'équation (i), en supposant que le rayon du disque devienne infini.
Ainsi, une surface plane indéfinie chargée uniformément détermine un champ uniforme.
Si Ton considère une portion de plan limitée et si le point P est
Fig. 34
CHAP. VI. — APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 55
infiniment près de la surface, l'intégrale se réduisant à ar, le résultat est toujours le même.
3° Deux plans indéfinis parallèles chargés de couches égales
désignes contraires. Dans ce cas, si la
première couche donne en P, placé entre
les deux plans (fig. 34), un champ "*"
-J-2i:Kt, la seconde donne évidemment un champ égal et qui a la même direction $ le champ résultant entre les deux plans est donc
Il est uniforme.
