I>luii«r>gf lilûrablli iprinUinort Je Paiol

CAPILLARITÉ. 589

c A l'époque où M. Pascal a composé ces deux traités, on n*a- « Fait pas encore trouvé ces expériences des petits tuyaux dont ( l'invention est diie à M. Rho, qui a une adresse merveilleuse < pour trouver des expériences et pour les expliquer. »

Conjointement avec le physicien auquel le beau-frère de Pascal attribue les premières études des phénomènes capillaires, Bonelli, le père Fabri, les académiciens de Florence, Sturmius, etc., etc., accumulèrent les observations et cherchèrent surtout à rendre raison de ces effets, dont la production ne devait être nettement expliquée que longtemps plus tard. Les académiciens de Florence, en particulier, établirent que les ascensions et les dépressions capillaires se produisent dans le vide, et par là même ils réfutaient toutes les théories que Ton avait déjà imaginées, ou que Ton devait proposer plus tard, pour expliquer, par des modifications de la pression atmosphérique, des changements de niveau dus en effet à des causes toutes différentes.

Newton, le premier, indiqua que les effets capillaires, aussi bien que les actions chimiques, sont dus à cette attraction de la matière pour la matière, à Taide de laquelle il avait expliqué toutes les lois du système du monde ; seulement, dans les phénomènes dont il s'agit, l'attraction se manifeste sous des lois différentes de celles qui la régissent quand elle s'exerce à des distances considérables.

Nous extrayons de la seconde édition de son Traité d'optique le texte remarquable où il expose à la fois et l'état de ses connaissances sur les phénomènes capillaires, et les opinions qu'il avait touchant « la manière dont ils peuvent dériver d'attractions qui s'étendent à de si petites distances qu'elles ont échappé jusqu'ici à nos observations....

« J'infère encore l'existence de cette cause de la cohésion de deux marbres polis, dans le vide ; et de ce que le vif-argent se soutient dans un baromètre à la hauteur de 50 , 60 ou 70 pouces et au delà, toutes les fois qu'il est bien purgé d'air et versé si adroitement dans le tuyau de verre, que ses parties soient partout contiguës l'une à l'autre et au tuyau. L'atmosphère pressant le vifai^nt, l'élève par son poids, dans le tuyau, jusqu'à la hauteur de 20 ou 30 pouces ; et quelque autre agent l'élève plus haut, non pas en le pressant dans le tuyau , mais en faisant que ses parties s'attachent au verre et les unes aux autres. Car s'il se fait quelque séparation entre les parties, ou par des bulles ou par le secouement du tuyau , le vif-argent tombe aussitôt en bas à la hauteur de 20 ou 30 pouces.

« Voici encore quelques expériences de la même espèce que

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^wm, Cesi mcjjrt uosi qut l'ishu monle «stic ôeux piMpes de nonTitf^ l»u^ y.viqwr kfsjs cd'iiés ^iC'Iis axil pandkùcs et a uoe fcct pttitA: âisïUDoe ] nu âe J unre. Ex si l'cc lj«D|ie dans Tean ie ixiii duo iBiMi <3e '^«rre iort ukail. Itao mcAlen duts k lorau â one iisatoiT qui stra jédprcique à îa cinilé do UiTaa. «t e^)e à la liaDl«or à Jaqueiie eiie xDonte «d1i« âem pbques de verre, si le ùaàk-^âsKDtiAs't de la cavité dn t4jTau est ê^ à la dislaDce eotie U« l^aqofsê OD eoTiroD. Do reste, tootes «s expénences réussis- 9t»t UAit 2ia»i Lien dans le vide oa es plein air. et \*ài conséqueDt eiJefi be dépeDdect eo aucune manière dn poids ou de la preàsîon de ]'auno§pl»ere. ^ Newton. TratU doptigve, t. U. Iït. m, Questioo x\u.)

Après Ne^ ton et pendant un siècle presque entier, différents pfay»i<'jens cbercber ent à analyser et â définir l'action des forces auiquelles sont dues Ic^ ascensions ou dépressions caprillaires. Jurin, Clairaut, Veibreicht, Young, ont laissé sur ce point dlmporlant£ travaux ; niais la théorie de ces phénomènes ne fut véritablement connue qu'en 4 808 ; elle est due à II. de Laplaœ, et a été expoiiée dans deux suppléments au dixième livre de la mécanique céieiite.

On fie rend aisément compte des lois de l'élévation ou de la (lépresftion que les liquides éprouvent soit dans des tubes capillaires, ffoil entre des lames très-rapprocbées, en se fondant uniquement fMjr ce que les effets dont il s'agit sont produits par des altractionH qui deviennent insensibles dès que les dislances auxquelles elU^M s'exercent sont appréciables.

Hini en effet abcd {iï^. 383] un tube étroit plongeant dans uv vttki* plein d'eMii iiiw|u'en XX' ^ et wit piwq le niveau dans U

GÀPlLLABiTé.

Soit de plus r la distance à laquelle s'étend Taction du solide sur le liquide.

Toute molécule liquide M située à une distance du tube moindre qoe r sera attirée par les molécules du tube qui sont comprises dans la sphère de centre M et de rayon r, et il est visible que la résultante de ces attractions sera normale au tube, si M n'est pas

trrs-voisin d'une des extrémités de celui-ci ; elle ne pourra donc contribuer en rien à soulever le liquide. Ainsi , pourvu que le niveau pmq n'atteigne pas jusqu'au haut du tube, c'est à la partie inférieure de celui-ci que doivent agir les forces soulevantes efficaces.

Pour mieux les apprécier, supposons le tube réel prolongé jusqu'au niveau extérieur XX' par un autre tube de/g de même section, et dont les parois seraient formées de molécules d'eau jointes entre elles sans changement de densité ni d'autres propriétés physiques.

Soit ab (fig. 384) la trace du plan horizontal avec lequel coïncide la base interne du tube et M une molécule assez voisine du plan ab et de la paroi id pour que la distance Ui soit inférieure à r. Cette noolécule, sous l'action du tube, tendra à s'élever. Soit en effet i' un point de l'arête id^ symétrique de i* par rapport à l'horizontale MP, et i" un point situé au-dessus de i' à une distance de M égale au rayon de l'action exercée par le verre sur le liquide; il est évident que toute la portion de l'arête comprise entre i' et i" agira efficacement sur M,

ai CAPILLAUTÉ.

A ractioB. aanieranfie tataist que Is part» nfonre

cxerre afruâ nr Les ierrueres xucaes lii^oide» »7iili rc »'eiK ÎHnC me autre afcisciiimfint esiie. et qai provient et tûnL caBcêe par le bas da tibe c^ sur [es pKÛe» les p (te b eoLamie feaa «rcmprâe «iaos le tube fictif rr. Soit en effet, an-dessciis 'le «^ me maieeiide If «vu

ieM:L'actioiL^'eiI TPfa ces prçmxen •ZTiiesde L'arèce ic/ s hiement iiieiinii'ze îoe fi' exerçait icnc en. -^oit q-ie "

exerce iiHzx actâcn

et de mètae sens

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eon lent: î" aiir îes premières iiuaiiies reniertixees 'ians

fideal ef. Xrins repréaenfierQas par F diacmLe de ces àena

M aiaintenaiic tm coibsiiere l'uneaa teraiiiial saç«r]e«ir ifiesi. 3a Tcit immeiiîaGenLem: ri 11 icit aizfr sur ie iqiiiiirf r ians !e :ace rf*eî : maàs res^resscn 'Xmcîete de cette act »*n gsnérai ii5îr?nce :e F. mas Jà rîtr^entenns car F.

Ei aLcrs îF — F' sen l'*x«reséi«:fi ccmcïefe des & as&Bit aa bas iu tafce peur âcar«îclr ia ccîneme îiqm îevée.

tt est -rai: te f iîI!»?Tirs ri'i xy i pas i'ac'res fermes < àt pr?<fnfrg xa effet semciacîe. -irar. t" -a ccaizfei? f -îaa q» la sarrn de actr« rdÈe iceaL xe seuc en j'iciin^e âocc âii TOT !e liiriiiie ru -îîle rîîi5îr!ne:

? Les KtriLticiis !S:îrr:«ries du rare r»ei scr îe î"j1 3e ietnfseac i'^îileî-aiêïnes.

3^ Fnfht s r:n rcnsiiiere îes ic&:ns rwirrr^iies de deu euiesdii jcniiie. srses :a Lia Tiuiira. •*■!«< Menèrent. Gi (firectâon <fe !a T»er*icaie. deox rtnniMâances eaies an âa et cpii dispanisêenc -ians !e <:aiji!Tii de la scmme des $crc

Sî étrwfe q»je s:ien£ les tafces iraçiOaires. îe^ir rayon e luiieuient înccmptfabiemenC ?{*is sraal rie Ji risunce

?s rar t et de !a r«salfe '•niemine

cÎLactme des scmmes dévissées par F et F esc prrçortacoi

cunCiciir in ;;ice: au. 5i T'jn iime meus. rhaiTTmede ces îi peac être coDSiîeree comina eonc ^e pruiuit >in cmcoar \

CAPILLARITÉ. 59

tobe par la valeur f ou f qu'elle aurait si 2irR était égal à

l'onité.

AfeensÛMi dam !«• tiil»ef étroit*. — La somme des forces sou- Icrantes îicR (î/ — f) soutient le poids du liquide soulevé et loi est égale. Si donc on pouvait admettre que ce liquide est un cylindre de longueur h et de poids spécifique p, on aurait Téqoation

2i:R {If — f) = icR»*p

d'où

Ainsi, dans Thypothèse de la cylindricité de la colonne, la valeur numérique du produit RA ne dépend que de la nature du solide et de celle du liquide ; et il en résulte nécessairement que dans des tubes capillaires de même nature mais de diamètres difiërents, les hauteurs h des colonnes soulevées doivent être en raison inverse des diamètres.

En réalité, la colonne se compose d'un cylindre surmonté d'un ménisque. Quand le tube est excessivement fin, la hauteur du liquide soulevé est considérable, le ménisque très-petit et son poids tout à fait négligeable; mais ce n'est là qu'un cas extrême. Pour les diamètres supérieurs, à 0'""',5, l'influence du poids de ce ménisque est très»appréciable et elle devient d'autant plus influente que le tube est plus large. Jusqu'aux diamètres de 3'°'°, on en tient compte en admettant que le liquide est terminé à sa partie supérieure par une demi-sphère. Voici comment on fait le calcul :

Le ménisque est la différence qui existe entre un cylindre et une demi-sphère ayant respectivement des volumes égaux à i^R'R et i/6irR' ; son poids a donc pour expression

piA» (r-?r).

h étant toujours la distance du point le plus bas de la surface capillaire au niveau extérieur, jditR'A est le poids de la colonne cylindrique; ainsi Ton a

2i:R (2^- f) = pitR'A -I- p«R» /r - ? r) L(!^ = K*+HlK = H(* + iR).

jg^nHiL. QHK'iKtiaifc. -tt- fine JUt imneus-uoraiSiAii HÂos-d UL ivatt QVLUt Tjwmmc -tsrt Tucoinigiigiimiit ^ngiurliaiiiK

•L^isv^aSuat ot Jii ^luuncikt du juHamqjatue msut §àaat ^hùt jimr titt âianim*» sigaacipus Ji -0*^1412: anas jugi ii]iiili:,>filk-faiiiciiiitài at îmifr jpwiratt to jiaul ânnaetea dÏPMSlBiDsnt J«KiiBÛtucit- : & m. -nfiti: Tun nnsBiiiv la iisn

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V— r * IL

|iuii»qu« 2L «Nrtfpar hy|iathèse, U^^-^rand par rapport à t Âïnëi la liauUnir /t ierait moiUé de celle à laquelle le « élé^ermi dnfM un Uibe <Ve dtauMsire '^.

GàPILLAUITÉ.

•BtM deux Uunei înelméet. — En se fondant sur ce qui précède, on se rend compte de la forme hyperbolique qu'aifecte un liquide en s'élevant dans un angle dièdre très-aigu.

L'airéte de Tangle est verticale.

Soit B sa trace sur un plan horizontal (fig. 386), AB et BC celles desfiBMses de Tapgle, et enfin soit BD la trace du plan bisecteur.

La tranche liquide qui se projette en »wn' à une distance ;r du

Fig. 386.

SMDmet de ]*angle, doit avoir même hauteur que si elle se trouait comprise entre deux lames parallèles indéfinies, distantes rone de l'autre d'une quantité égale à la ligne KmK' menée par le point M, perpendiculairement à la bissectrice BD et terminée de part et d'autre aux côtés de Tangle ABC. Par suite, si Ton désigne par y la hauteur de la tranche projetée en mvi' on doit avoir

Donc enfin

MK'

xlg^AW:

pig\ ABC.

C'est-à-dire que les coordonnées a; et ^ satisfont à l'équation d'une hyperbole équilatère ayant pour asymptotes : K" l'arête verticale de l'angle dièdre, et %"* la bissectrice BD.

9% la forme des lorlaeef — Dans tout ce qui précède, nous avons spécialement considéré les élévations capillaires. Le cas des dépressions se traiterait d'une façon toute semblable. Seulement alors la quantité 2F — F' est négative ; la couche liquide en contact avec la paroi s'abaisse et le niveau devient convexe^ tandis qu*il est forcémeot concave lorsqu'il y a asc^iv^xQtv,

MB CtriLLAKITE.

H U raartMirr àe b sabcf «si éridmtp â priori. On df cot init pftÈ m effet qn'im lïqDÎde pAt s'ëtrTer nmtrv une parois dermr par ceb n.éai« comte, ni sf déprimer sa» de-iniir t

Tootetoë, comme cette défieadaiice ronstitiM un des points I •tameabnx de b théorie capîDaîre ' . nous rtlerons nne expérie qui b met parfaitement en évideiice.

Daof un sipiioa de verre avant nne branche fort brge AB ranlretrê^n Bg. 387. on Tersedel'eaaen telle proportiom te sarbn s'arréle dans le tube étroit â one certaine distance rntrémilé. Si U première branche a nn dbmétre snfBsant difleTence des niveam est alors é^le à U hauteur à laqnelle t* s'élèverait dan* le tube DC. au cas cù il plongerait stmplemei a partie inférieure dans une ma?se d'eau indéânie. Si alors Tene du liquide en A. les nlnmc déplarenl e1 montent dans les d branches: mais leur distance verlii re^te ron$tanteaasfii longtemps qu liord du ménisque en CD ne ton pas le bord gopérinur D do lube partir de cet instant, si l'on oonli a verser du liquide en A. le ménîS' s'aplatit, b différence des nive diminue, et eUe s'annule en m« ^ p. j^- ^ temps que b concaiilé de la surfj

Enfin, si l'un continue à verser lei ment de l'eau da^is la grande branche, on voit se former su section du lul« capillaire une ^olte convexe, et le niveau s'él alors dans la grande branche ao- dessus du point le plus II qui termine le filet capillaire.

' iQCATIOX DE LA SCBFAGE CAMLLtIRE.

Si l'on eicepte le cas des lubes irès-élrôils ou des lames pa lèles trés-rapprochées, on ne peut estimer le poids des colon soulevées ou déprimées par les actions capillaires qu'à la coi lion de connaître la forme des surfaces qui terminent les liquic

CikPiLLÀJiiTÉ.

La détermination complète de ces surfaces est un problème compliqué. On peut toutefois, sans avoir recours au calcul, faire concevoir le principe de la méthode par laquelle M. de Laplace est parvenu à le rendre.

Soit M (fig. 388] un point de la surface capillaire, et AA' le niveau dans le vase ; admettons que la pression extérieure, quelle qu'elle soit, s'exerce également dans le tube et en dehors. Ënfm imaginons que tout le liquide soit solidiGé, à l'exception toutefois d'un 61et MNA, normal en M à la surface capillaire, ayant une section infiniment petite «a, et venant aboutir aussi normalement an niveau extérieur en un point A, un peu éloigné du tube.

Ce filet est en équilibre. Or, si la surface était plane en M comme en A, Téquilibre ne pourrait exister avec la différence de niveau marquée sur la figure ; car la pression hydrostatique transmise en A par le filet liquide serait supérieure à celle qui s'exerce extérieurement au même point. La mesure de la différence s'obtiendrait en multipliant le poids spécifique/? du liquide par l'élévation 2 de M au-dessus de A et par la section &> ; et comme cet

Fig. 388.

Fig. 389.

excès de pression t^zp ne peut être contre-balancé que par l'action R du ménisque sur le filet, l'équation d'équilibre est nécessairement K = tùzp ; reste à évaluer K. Pour y arriver, menons par la normale BM un plan sécant BMNN' (fig. 389) ; le cercle osculateur en M à la courbe NMM' se confondra avec elle dans une certaine étendue que l'on peut regarder comme égale au rayon de l'activité moléculaire.

Menons enfin, toujours par la normale BM, un second plan N^'MN/, faisant avec le premier un angle 9 infiniment petit, et

cherchons l'action qu'exerce sur le filet moyen BM, la portion du ménisque comprise entre ces deux plans. Pour cela, découpons le coin que nous venons de former en éléments infiniment petits, par des surfaces cylindriques ayant toutes BM\)Our axe et des rayons x

dM GAPILLABITÉ.

croisgant par degrés insensibles et égaox à «. Soft y la hanteur de l'élément q situé à distance jr de V, et Y son Toliime, on aura V s= rTxf . RempbçoQS maintenant y par sa Tileur en fonction de jr et do ravon r du cercle osculateor en 11 à la coorbe NMM . et il Tiendra

ir — f ^ ir

à cause de la petitesse de y. L'action de l'élémenl g sur un élément B do Blet mojren placé à unedistanœ t dn point M sera proportionnelle an produit de leurs masses multiplié par une certaine

fonction de leur distance (#* + ^j *; son expression contiendra

donc le facteur - et c*est par là seulement qu'elle dépendra du

rayon de courbure de la section normale NMM'; il en sera de mémo de la composante normale de la force que nous con?îdéron& Si maintenant on change d'azimot et que Ton cherche toujours la valeur de la ccmposante normale de l'action qu'exerce sur B un élément ^ du ménisque si lue à la même distance x de M, elle oe diflerera de la première que par la valeur du rayon de courbure en ce nouvel azimut.

Ainsi , que l'on suppose le méDis<iue divisé en une inanité de coins de même angle, l'action que chacun exercera sur le filet

rooven sera la somme dune infinité de termes a\'ant tous - en

facteur : elle aura donc une expression de la forme suivante :

- Uw. H étant une quantité qui ne dépend pas de la forme de la

suriiace. mais qui varie avec la nature du liquide et la toi de Tattraction.

Si en particulier nous considérons deux sections rectangulaires ayant respectivement des rayons de courbure égaux à r et r', la somme des actions des coins correspondants sera

Or, on démontre en géométrie qu'en un point d'une surfooecourk' quelconque, la somme des inverses des rayons de courbive de deux sections normales rectangulaires est constante et égale, à la somme

des inverses - + — des deux laxw^ xsaiÀifiaL ^v. \srâÂsna.. Oq^vc R H

CAPILLARITÉ

on voit que raction exercée par le ménisque entier sur 1^ ^k*: moyen en M a une expression de la forme

fl' étant, comme H, indépendant de la forme de la surface.

Si la densité du liquide est partout la même, le (acteur H CdMiserve une valeur identique en tous les points de la surfiice ojipiJlaire ; et même, cette constance de H' subsisterait enct>r^ dMfe> l'hypothèse où, près de la surface, la densité du liquide éproux^ rait certaines variations, pourvu que ces variations se fissient toMjours suivant la même loi dans la direction de la normale en c^aque point.

D'après la valeur que nous venons d'assigner à la quantité K« on voit qu'entre la coordonnée z d'un point quelconque de U surface capillaire et les rayons de courbure principaux R et R\ relatifs à ce point, ou a la relation

Cette relation est ceHe que nous nous proposions d'obtenir, On la retrouverait exactement la même si l'on supposait que la surface du liquide est convexe dans le tube capilaire. Seulement il faudrait alors que les ordonnées z fussent comptées |>ositivement au-dessous du plan.

Dans ce cas, on raisonnerait de la manière suivante : Le point M étant à une distance z au-dessous du niveau, si la

Fig. 390.

surface autour du point A avait une covxrbut^ xàatvNXni^^ V ^^^ qui existe autour du point M, la pression Iraxvsmx^^ ^^^ ^"^^ ^^

CA.FiLLAMlT£.

ûiet serait supérieure de pztù à celle qui s'exerce extérieurem9#^t au même point. Il faut donc que cet excès soit détruit p^r 1 attraction qu'exerce en A, sur le Blet ASm, le ménisque compris entre le plan XX' et la surface courbe aAb.

Or, il est facile de voir que cette action est égale à celle qu'exercerait sur le filet moyen un autre ménisque, symétrique du premier par rapport au plan XX'. En effet, soit dans l'espace £B A E'B'

(fig. 394) un point I capable d'agir sur le filet moyen A6 : abaissons du point I une perpendiculaire la sur la normale, et soit b le point de cette normale qui est symétrique de A par rapport à la. Les composantes verticales des actions que 1 exerce sur toutes les molécules comprises entre A et 6 s'entre-détruisent, et quant à la composante verticale de l'action que I exerce sur une molécule quelconque du filet moyen situé au- Fig. 391. dessous de 6 à une distance ^, elle est égale à

l'action exercée sur la molécule de ce filet située à une dislance ^ du sommet A, par la molécule 1' qui, dans le ménisque supérieur, est symétrique de I par rapport à BA.

Ainsi les actions des deux ménisques sont égales. Or nous avons déjà trouvé que celle de DAD'B'B a pour expression

-a + rO

Donc il en est de même de celle de l'autre, et enfin l'on a encore la relation