II

Digitizc.

ùl¥lfKkCtiQ».

remplaçons costù et sint» par leurs valeurs en négligeant llaâ termes en <»^, il vient

fiel ss tab.miM -f i«6 — i^.

Lorsque G n'est pas du iiK^ine ordre de petitesse que m, on peut réduire cette équation à la forme très-sintple

— ^ * abtinù *

car en opérant ainsi on ne néglige qu'un resie tout à hïi insensible par rapport ans termes conservés.

Ainsi simplifiée, féquation montre que » croU proportionnellement à c'est-à-dire que les arcs élémentaires définis comme nous l'avons fait occupent toutes des longueurs égaler sur la circonférence ZS. .

Seulement cet^ conséquence në s'applique plus à ceux qui sODt très-voisins du point Z. Alors, en effet, le terme tabtisinC est du même ordre de grandeur que alors, comme est toujours négligeable devant ^, Téquation devient, abstraction faite des termes de Tordre de «S

Pour G ^ 0, on a simplement

ici « -—

Si l'accroissement iS devient u deviendra «•', et l'on aura

d'où

Dans le cas particulier où ^' 2^, on a » »V^S. Il s'en faut donc de beaucoup que soit alors double de «, comme cela arrive dès que l'angle G a une valeur apprédidile.

Dans ce qui va suivre, pour appliquer ce théorème à Texpiicatien des phénomènes de diffraction, nous nous placerons d'abord

MilHOBB SÏHTHÉTIQUt. W

dans un cas qui paraîtra purement hypothétique: mais nous établirons (page 396) que notre hypothèse, si dénuée de réalité qu'elle puisse paraître , n'est au fond que l'expresiioii vrm des conditions dans lesquelles on opère.

Soit dans le plan du tableau une portion de circonférence S'ZS décrite du centre A, et B un point extérieur suffisamment éloigné (6g. 673). Supposons que le milieu étbéié soit homogène dans toute la portion de Tespacc que nous considérons; supposons que sur toute l'éteudue de la ciiconféreuce S'ZS les molécules lumineuses accomplissent des vibrations parfaitement identiques, c'est-à-dire de même intensité, de o^me phase et de directions parallèles entre elles; enfin, supposons que les conditions de propagation des ondes lumineuses soient telles que chacun de ces mouvements élémentaires considéré isolément, celui, par exemple, de la molécule M, se trouve tranamis

BM

en B au bout d un temps égal à v étant la vitesse de propagation, et cela sans autre changement qu'une réduction dans le coe£Bcient de vibration, laquelle serait proportionnelle à la distance BM. Conv€M||^^J^P6l^r?#!ÇM9$ine portion quelconque d'un des arcs ZS SpB5i|^y èf^^^^^ eetta. zone la dififérence des distances de ij^^fpil^ /

Ceci posé, pourrait cè qde'peiit être," k une époque donnée T, la résultante générale de tous les mouvements qui arrivent en B dans touted les directions comprises entre les tangentes menées de B à la circonférence AZ, nous raisonnerons de la manière suivante : * /

Divisons chacun des arcs ZS et ZS' en arcs élémentaires MM', M'M"..., déûnis par celte condition que la différence des distances

du point B aux deux extrémités de chacun soit égale à ^x, c'està-dire, en d autres termes, divisons chacun des arcs ZS et ZS' en imno&élémenktirês de hauteur ^x. Si, d'un même c6té du point

Z, on considère deux zones ék iiH nt.ures ronspciitives MM', M'M". prises à une disUince appréciable de Z, elles enverront en B des mouvements qui auront à très-peu près même intensité, puisque les longueurs de ces zones sont très-sensiblement éirales, etqn'i! en est de même de leurs distances au point B. Ce^ mouvements s accompliront suivant des droites parallèles, mais ils seront en retard l'un par rapport à l'autre d'une demi-oscillation. Us se détruiront donc à très-peu près complètement. Il n*en sera plus de même des zones élémentaires voisines du

Diqitizca Ly <jOOgle

iuFFn A^TIo^.

point Z, far elles sont inégales entre elles; elles n'apront que par leur différence, puisque les mouvements envoyés au même instant en B par deux consécutives quelconques d'entre elles sont de directions opposées. De cotte opposition de direction et du décroissement de longueur que les zones élémentaires éprouvent à mesure que leur origine s'éloigne du point Z, il résulte que l'intensité de l'éclairement produit en R fMir une zone ZK présentera un maximum toutes les fois que la hauteur de cette zone vaudra un nombre impair de demi -longueurs d'ondes, un minimum quand cette hauteur sera égale au

produit de ^ par un nombre pair.

Enfin, s'il s'agissait d'une portion d'onde telle que N'S'. c'eslà-<lire d'une zone indéfinie, mais dont l'origine N' fût plus ou moins distante du point Z, on verrait aisément, d'après ce qui précède, que l'action de cette zone en B, encore appréciable si N' était voisin de Z, cesserait bientôt de l'être dès que l'arc ZN' serait un peu considérable ( fig. 673).

Fig. 674.

Dan:^ les expériences de diffraction,. les écrans interceptent des portions plus ou moins considérables de l'arc éclairant total S'ZS (fig. 674], et l'action des parties restantes s'estime d'après les considérations que nou-; venon; d'exposer. Nous examinerons trois cas particuliers.

h" cas. Franges doiméei par le bord d*an écran. — Supposons qu'à l'aide d'un écran indéfini dans le sens ZB on intercepte

Digitizc^. ,

MÉTHMS RTUTtt&TIQUB. M

la moitié ZS de l'arc éclairant S'ZS. Le point B sera éclaire par l'autre moitié de cet arc, savoir, par ZS'. Un point P situé dans Ja |)ortion BE de l'écran blanc EE' recevra la lumière de la zone indéfinie ZS dont l ori^ine n'est plus sur la droite Al* qui joint lo rentre A au point P. L'action de cette zone décroiira rapidement à mesure que le point P s'écartera de B : mai? elle ne sera nuHe qu'à une certaine distance. Entin, en nu point P' situé à i^auche de B, il arrivera d'abord toute la luiuière de l'arc éclairant l'S', et cette lumière est éi^ale à rpllt^ que S Z envoie en H, [Hiis toute la lum n»re que l'Z pont rnvoyor en ce mAme point P'. Des considérations très-simples et que nous developperoQ6 (page 39d) montrent que ces deux réêulUintes ont eolre

efles une idifiërence de phase notablement Inférieure à et d'ailleurs, l'action de- la tùno Vf, varie avec sa hauteur P'Z — P'I'. Elle est minimum ou maximum suivant que cette hauteur vaut un nombre pairou un nombre impair de demi-longueurs d'onde.

Par conséquent, à gauclie du point B, Técran doit présenter des franges alternativement phis sombres et plus brillantes résultant de la combinaison d'une quahtilé de lumière constante avéfe une autre qui est > tantôt plus grande qu'elle et tantôt preeq^b nulle.

Il ne foudrait pas croire, toutefois, que ces indications sutflsent pour établir que les maxima auront Heu précisément aut pointe P de l'écran définis par la condition que P'Z — P'i' soil

égal a j- — — . En effet, la différence de phase qui e\j»tô

entre les deux résultantes partielles qu'il faut composer pour avoir le mouvement total varie avec la hauteur de la zone l'Z. Si la

hauteur de la zone IZ vaut ^X, la différence qui exii>te entre la

' t phase de sa résultante et celle du mouvemen t transmis suivan

V 3 AP' est un peu Inférieure à ^. Si la hauteur vaut -x, les mou->

vements efficaces en P sont : 1" ceux de la :v zone élémentaire, lesquels fournissent une résultante partielle dont le retard .sur le mouvement transmis suivant AP' répond à une diffé-

ranoede phase aussi peu inférieure^ | ; $!^ ceux qui proviennent

de lexcès de la prerîiicie /nno sur la deu xième: pour ces rayons? le retard est notablement moindre. Au contraire, il ne peut y avoir de variation dan^^ la différence néQessairement inférieure

DIFFRACTION.

à ^ qui existe enlre la phase de la résultante de Tare éclairant l'S'

et celle du mouvement transmis suivant ÂP'.

Ainsi donc, on voit que tes deux résultantes générales, celle de rS' et celle de l'Z, qu'il faut combiner pour avoir la représentation numérique du développement des franges données par le bord d'un écran, ont, par rapport au mouvement transmis suivant

AP', des retards tous deux inférieurs à 7X. Leur relard réciproque

est donc à plus forte raison inférieur à cette limite, mais il existe, et il varie avec IZ'; cette remarque sullit pour faire voir que les considérations précédentes peuvent donner une explication générale de la production des franges, sans pouvoir préciser numériquement la position de leur partie centrale.

2' cas. Franges dans l'ombre d'un corps étroit. — Si l'éCTSin

Opaque se réduit à des proportions extrêmement jietites, de telle sorte que, par rapport au point de concours B (fig. 675), les zones HD et KD' n'aient plus qu'une hauteur de quelques demiondulations, on peut voir d'abord que toujours une tache ou frange lumineuse existera au point B où l'écran KE' est rencontré par la perpendicule AZ, et qu'ensuite, à droite et à gauche de B et dans la partie dd' de l'écran comprise entre les prolongemeutjs des droites AD' et AD, devront apparaître des franges fines et semblables aux franges d'interférence ordinaire, j • ' I '1 \

♦ I • . < U' " ; ' \- NI -'ni.