DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES CONSEQUENCES DE LA LOI DE HUYGHBNS
Recberohei de M. P. Defaina. — Depuis plusieurs années j'ai publié, dans le cours de la Faculté des sciences, une série d'expériences qui offrent une vérification d'ensemble de la loi de Huyghens : je ne crois pas inutile de les décrire et de les discuter ici avec quelques détails.
On fait tomber sur une lame
IH^mMBj^^^^^^^H de spath à faces parallèles PP' ^^^IBBhIkB^^bIU nappe de rayons
|^^HHHHQ|HHBB lumineux la forme d'une ^nHH^H^HSIiB^lH surface conique droite à base
circulaire BOA. L'axe CO de cette surface est perpendiculaire à la face d'incidence, et son sommet 0 est sur cette face.
Sous l'action du cristal, la nappe lumineuse se dédouble en deux autres. L'une, EOF, formée par les rayons ordinaires, est encore une surface conique droite qui coupe la face de sortie, suivant un cercle dont le centre est sur l'axe du cône incident; le rayon de ce cercle est le produit de l'épaisseur du cristal par la tangente de l'angle de réfraction ordinaire EOD, qui correspond à l'angle d'incidence commun à toutes les génératrices du cône incident.
La nappe lumineuse formée par les rayons extraordinaires coupe la face de sortie, suivant une courbe elliptique dont les dimensions et la position peuvent se calculer d'après la règle de Huyghens.
On peut calculer de même la forme et la grandeur des sections que l'on obtient en coupant par un écran les deux nappes lumineuses émergentes, et l'expérience confirme de tous points les résultats de ces calculs.
Pour obtenir commodément la réalisation physique des sections dont il s'agit, on reçoit les nappes émergentes sur une lentille
DOUBLE RÉFRACTION
suffisamment large, et dont Taxe coïncide avec celui du cône incident.
La lentille forme alors sur ufi écran blanc, situé k une distance p de son centre optique o, une image de la section faite dans les nappes lumineuses réelles ou virtuelles, par un plan distant du point o d'un?, quantité p' donnée par l'équation 14 1
- + a étant la distance focale principale de la lentille.
Les courbes ainsi produites sont très-lumineuses : il est facile de leur donner en projection plus d'un mètre de diamètre , et l'on peut aussi en prendre des épreuves photographiées. Les planches ci -jointes sont la reproduction d'épreuves de ce genre.
Fig. 701.
La fig. 701 représente le phénomène tel qu'on l'observe quand' les face.s du cristal sont perpendiculaires à l'axe de double ré-
Fig. 702.
fraction. Les deux courbes sont circulaires, et il est évident, à priori, qu'il en doit être ainsi.
4Si
DOUBLE RÉFRACTION
La fig. 70? est relative au cas où la face d'incidence est parallèle à l'axe de double réfraction. La fig. 703 se rapporte au cas plus général où la face d'entrée est orientée d'une façon quelconque par rapport à l'axe.
DisouMioii. — La discussion de ces trois cas distincts se fait sans difficulté. Dans le premier, les deux courbes de section sont des cercles concentriques; mais, suivant la position de la lentille, le cercle formé par les rayons ordinaires peut ôtre extérieur à l'autre ou bien lui être intérieur. Sur la face de sortie, et à toute distance au delà de cette face, la nappe ordinaire est intérieure à
Fig. 703.
l'autre. Mais si l'on prolonge la direction des rayons émergents de l'autre côté du cristal, c'est précisément l'inverse qui a lieu. (Test le prolongement de la nappe ordinaire qui recouvre l'autre.
Fig. 704.
Cette sorte d'inversion tient à ce que les deux rayons émergents EA et OC (fig. 704) sont parallèles au rayon incident SI,
Digitizc^.
bOlJRLR RÉFllACTION. 433
et à ce que le point P, où OC prolongé rencontre NN', est audessous du point Q, où AEB rencontre cette même ligne.
Quand la lentille sera placée de façon à faire sur le tableau l'image d'une section telle que Z,'Zj, le cercle extraordinaire sera enveloppé par l'autre. Ce serait l'inverse si le plan conjugué du tableau par rapport à la lentille était situé de même côté de ZZ' que cette lentille.
Deuxième cas. Dans le deuxième cas, les faces du cristal sônt parallèles à l'axe de double réfraction. Soit c l'épaisseur de la lame; prenons pour axe des x une parallèle à Taxe de double réfraction menée par le point d'incidence.
L'ellipsoïde de Huyghens est alors de révolution autour de l'axe des Xj et par suite son équation peut être mise sous la forme
Ax2 + A'y' + —1=0.
Il est coupé par le plan xy, suivant l'ellipse aa'bb' (fig. 705) ;
Fig. 705.
la longueur du demi-axe Ob est donnée par la relation -^^ ^ '
celle du demi-axe Oa par l'équation y* =. — .
D'autre part, d'après la règle de Huyghens, si Ton appelle / et l" l'indice ordinaire et l'indice extraordinaire du spath, les valeurs de
ces demi-axes doivent être respectivement j et ^. Donc
A = n et A' = n.
m DOUBLB RÉFHÂCTIOM*
Recherche de la courbe de sortie. — Soit maintenant un plan
d'inridoncp qiu'iconque doiil la trace sur celui des XY «;oit K'K.
Pour a\ oir la direetion du rayon extraordinaire qui répond au
rayon incident conlenu dans ce plan, il faut prendre sur OK une
longueur OK «— R — — , » étant l'angle d*incîdence. Par le
.wi appoint K mener une perpendiculaire PP' à OK dans le plan XOY, et par cette droite un plan tangent à rellipsofde. Enfin^ joindre le centre 0 au point de contact Q.
La droito PP' . est vm tangente au cercle dont Je rayon est
— = R. Soient et les coordonnées de K, l'équation de
PP'se»
et l'on aura
dolent x'y'z' les coordonnées du point de contact Q. 1.6 plan tangent à fellipsoïd.e en Q a pour équation
Âxxf + AW + A'zf — I =s 0.
Ce plan doit couper les axes en P et P". Donc on doU avoir
et par suite
d*où l'on conclut déjà la relation importante (*) E< ( AV» + A V*) «
Soient maintenant y'^ et c lescoordonnées du point où ia
droite OQ perce le plan de la deuxième foce du criilal.-On a évidemment
d'où
DOVSLB RirBACTIOlf. W
Portons ces valeurs de x' et y' dans rcquaLioa de l'ellipsoïde, ainsi que dans la relation (6], et il vieiidra
et
et par suite • ' . ,
Aa A'» '»
Toile est l'équatioa de la courbe de sortie des rayons extraordinaires. ^ -
A et A' sont positifs, 1 — R*A, 4 — RfA' sont négatifs; la courbe est uno ellipse.
Avant d'aller plus loin, nous ferons remarquer que les équations (a) et (c) établissent une relation très-simple, et connue depuis longtemps, entre les angles que font avec le plan ZOX, les plans qui contiennent la perpendiculaire à la face d'incidence, et 1 un des deux rayons réfractés provenant d'un rayon incident utiique. Soit ça elfet w celui de ces angles qui se rapporte au. rayon
ordinaire, et^«•' l'autré, on a (an^m s et imgm*
Or, dos équations (a) on tire
Dc'[c} on dédiiit Donc
E$mâm àm Mstioas têHm d«w les ii*ppes èineifMitM. — Lea
rayons ordinaires, à leur sortie, forment un cdne droit ayant un demi-angle au sommet égal à <p ; le sommet 5 de ce cône est sur raxe OZ; et si Ton désigne par ê l'épaisseur du cristal, et par <p' 1 angle de réfraction correspondant à Fangle d'incidencé <{>, la
distance de S à la face de sortie sôra ^/^^^ ^ • La courbe de soro
tang cp
tie dôs rayons ordinaires est donc un cercle ; dans ce qui va sui-^ vrei le rayon de ce cercle sera désigné par y/i-, (Voir p. 437.)
kU DOUBLE REFRACTION.
Quant aux niions extraordioaireB, ils formeot «ne nappe lumineuse dont réquation est plus compliquée; maïs il est facile de voir qu'à une distance un peu considérable des faces du cristal les sections de cette nappe, par un plan parallèle à celui des XY,
ne diffèrent pas sensiblement (\ \ine ellipse, dont les axes tendent vers régalité à mesure que le plan de section s*éloigne de l'origne.
Pour le démontrer, supposons que Tellipse de la figure 706 soit Tellipse de sortie ; admettons que les lignes OA et OA' soient re^ ppctivement parallèles' aux axes (les X et T poêltife, et que Téquati(^n du plan qui contient rellipse, soit c =— c.
Soient enfin ,X et Y les coordonnées du point F où Je plan, dont l'équation est z^h + e^ est percé par le rayon extraordinaire qui émerge au point D de l'ellipse de sortie, dont les coordonnées sont a;'i et y,. Pkmr trouver X et Y, on raisonnera de la manière suivante. Le rayon émergent est parallèle à sa .direction d'entrée; il lait donc un angle (90" — 9) avec le plan de l'ellipse de sortie, et par suite la ligne FD qui joint les points {x\ y' « ) , (XV) se projette sur ce plan suivant une droite DE de longueur hlgtf mmX, DE est parallèle à la ligne suivant laquelle les faces du cristal sont coupées par le plan passant par Taxe de la nappe ineidente et le rayon incident que Ton considère. Soit toujours c* Tangle de ce plan avec ZOX. htg<f.co8m et htgffsmt^ sont les projections d^ X sur les deux axes coordonnés, et Von a
Quant aux valeurs de y\ eix'i^ elles sont liées entre eile^, et Tangle m par la relation
Soit maintenant ai fX^'' + Y|') » 4 Féquatton du cercle de sortie des rayons ordinaires; et représentons, pour abréger, celle de l'ellipse de sortie des rayons extraordinaires par ax^* -f- bffi'*
I ; 1^ valeiirs de il et 6 étant définies respectivement par Ie9
DOUBLA HÉFIIACTIOK UT
équations
^* (R»A - I) « « et ^^s-^ «
posons - as g, et sott «• un angle quelconque. Les coordon-
nées X, et Y| du point du cercle pour lequel le rayon vecteur fiiit un angle tù avec Taxe des X sont respectivement données par les équations
Soit w' uu angle défini piir la relation Igtè' « y%^Q^-> ^^^x
et y/ les coordonnées du point de Tellipse pour lequel le rayqn vecteur mené du centre fait avec' l'axe des X l'angle «•'; po|sons
^ i/i. et sont donnes par les équations
Des quatre équations précédentes on déduit :
Ceci posé, dans les évaluations (d) de la page 43i) on rempla^ cera les coordonnées (le l'plli[)se x\ ot y\ par les valeurs Xj et Y, tirées des deux équations précédentes; on retiipia-
cera co*» par Xi : -7=^ par«Y| : , et il viendra :
Si ^A/i^ éilait rigQureuaamant^ ^gal à 4 « Jes valeurs de X et Y deviendraient : ' .
«M BOBBLt RirKA<;Tioei.
et, par suite, oa aurait
■ " wf^' ' wf^ï ' ''
ce qui est l'équation d'une ellipse dont les demi-a\es ont respectivement pour longueurs :.
'Dans les expériences que nou^ iiseutons, qm* est un peu inférieur à l'unité, mais il est vo smi de cette valeur; par conséquent, dès r instant que X sera en valeur absolue ^1 à S ou
3 fois 1^/^-!-, on pourra, sans erreur sensible, regarder ta
courbe de section comme donnée ptr l'équation («).
La forme de cette courbe se coniplique lorsque les valeurs absolues de X Và| sont -peu considérables, ou plutôt la complication naturelle de cette courbe devient alors très-sensible. Mais les équations 6 de la page 437 se prétest toi^eurs à une discussion éftcile.
Supposons X «s -- !..
Pour 4* 0, X s 0, parce que la parenthèse devient nulle. I» croissant, la parenthèse est positive, et sa valeur absolue augmente un peu, jusqu'à ce que l'on ait m «^eo. Quant à il est
toujours positif, et va en diminuant jusqu'à ce que, pour cetle valeur (90) de il devienne nul à son tour. Alora X Test nécessairement aussi. ' *
Pour les valeurs de «, comprises dans le premier cadran, Y est toujours positif ; pour m « 0 il est nul parce que Y| Test. Puis Yi augmente^ ainsi que la parenthèse, et pour ^ » 90, on a
La forme des valeurs de X et Y montre que la couite est symétrique par rapportaux axes des coordonnées; et d'après celle que la
DOUBLE UÉFRACTIOK.
dîMition précédente lui assigne dans le premier cadran, on Toit qu'elle a la forme d*uii huit, dont Taxe coïncide avec celai des Y.
P(Hir, X PB — ^ forma sérail analogue, mais J axe du
huit coïnciderait avec l'axe des X.
Troisième cas. \je troisième cas se traite absolument de la mi^me manière. Les calculs sont un peu plus longs à écrire, mais la marche à suivre dans Télimination qui conduit à l'équation do l'ellipse de sortie est identique à celle que nous avons développée dans le deuxième cas.
J'ajouterai comme détail d'expériences que pour obtenir les nappes coniques dont je fais usage, je me borne à faire tomber sur une lentille fortement convergente un faisceau intense de rayons à peu près parallèles, en prenant soin de placer contre la lentille une plaque opaque percée d'une ouverture annulaire dont le centre est sur Taxe do la lentille.
Fig. 707.
La figure 707 représente dans son ensemble l'appareil (|ue j'emplôle ponr produire et projeter ces phénomènes. DE est U portion
LINETTR Dfc ROCHON.
qui sert à obtenir la nappe conique convergente. Elle se compose d'un tube recevant par son ouverture D les rayons solaires ou
Fig. ion.
ceux d'une lampe éloctrique et terminé à l'autre par une lentille très-convergentè.
La plus grande partie des rayons qui tombent sur cette lentille sont arrêtés par une sorte de couvercle opaque dont on recouvre la faco opposée à celle qui reçoit la lumière. On ne laisse émerger que les rayons qui tombent sur un anneau circulaire 6 (fig. 709) ayant son centre sur l'axe do la lentille et aussi ceux qui, cheminant dans la direction de cet axe, tombent sur le très-petit orifice circulaire a. G (fig. 707 et 708) est un support à double mouvement sur lequel on place le cristal. Enfin H est un objectif très-convergent formé, comme on le voit fig. 708, de deux systèmes de lentilles achromatiques.
Toutes ces pièces glissent dans la rainure AB (fig. 707), et s'y fixent à l'aide do vis de pression. AB peut s'incliner plus ou moins dans un plan passant par le pied C.
Fig. 709.
• ^3. — M .MiTTK DE ROCHO.N.
Ouand doux triangles roctanglos ABC, ABD, ont un côté de l'angle droit commun AB (fig. 710), les tangentes des angles opposés sont inversement proportionnelles aux autres côtés BG et BD, et par conséquent, si l'on connaît BC , BD et ACB, on en déduit aisément l(j BDA. Il en résulte que si l'on regarde un objet très-éloigné avec une lunette dont l'objectif ait une distance focale connue F = BD . on connaîtra l'angle sous lequel on voit l'objet du contre de l objectif, si l'on peut assigner le point C de
