PROPAGATION DE LA CHALEUR

ces cylindres dans toute leur longueur d'une mince couche de cire, et, quand elle est bien solidifiée, on verse de l'eau chaude dans la caisse. La chaleur se communique par conductibilité dans rintérieur de tous les cylindres, mais la communication, très-rapide et très-parfaite dans les uns, l'est beaucoup moins dans les autres; ainsi, en très-peu de temps la cire est fondue sur le cylindre d'argent et de cuivre jusqu'à une distance considérable de l'origine, tandis que la fusion est à peine sensible sur les cylindres de verre et de bois.

§ 2. — PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UN MUR DE LARGEUR INDÉFINIE. — DÉFiNlTION»DU COEFFICIENT DE CONDUCTIBILITÉ.

Lambert paraît être lo premier qui ait songé à étudier analyliquement le phénomène de la propagation de la chaleur .dans les corps solides athermanes; mais ce sont surtout les travaux de Fourier sur ce sujet que l'on regarde comme le point de départ do la branche de science que l'on nomme souvent la théorie mathématique de la chaleur.

Dans leurs recherches sur la transmission de la chaleur par voie de conductibilité, les géomètres, jusqu'ici, partent d'un principe secondaire, quoique très-général, et qui consiste en ce que, dans un corps homogène, la quantité de chaleur qui passe dans un temps très-court, d'une molécule à une molécule voisine, est fonction de la distance des deux molécules et de la nature du corps, et qu'en outre elle est proportionnelle à la différence de iem[>crature des deux molécules.

De ce seul principe on peut faire découler un grand nombre de conséquences importantes.

Supposons d'abord que l'on ait un mur AB [fig. 78Î) d'épais-

Iseur et de largeur indéfinie; admettons que la face antérieure A soit entretenue à une ^1 température constante T, et la face postérieure H à une autre température l, moindre que T; |H une transmission continue de chaleur s établira 9 entre les deux faces A et B, et, au bout d'un H temps plus ou moins long, le mur, en sa to- ^1 talito, sera arrivé à un certain élat station- ^1 naire. Quand cet état sera atteint, supposons Fig. -82. '® "^"^ soit divisé par des plans parallèles

aux faces A et B, en ;t couches très-minces dont l'épaisseur constante pour toutes soit telle que la chaleur i envoyée par la première se trouve complètement absorbée par la

. j ^ V, oogle

PAU COriUUCTiUlLlTJt

seconde, sans qu'aucune portion ne passe directement à la troisième. Supposons enfin qu'en tous les points de chaque tranche la température soit la même au même instant -, alors il faudra que; dans un temps donné, chacune de ces tranches reçoive de celle qui la précède une quantité de chaleur égale à cçlle qu'elle donne à la suivante, et ainsi de suite. Il n*y a pas de perte extérieure puisque le mur a une largeur indéfinie; il faudra donc, d'après le principe énoncé à la page précédente, qu'entre deux couches consécutives quelconques la différence de tempé* rature soit constante.

Cette diâiérence sera ici égaie à ou si l*on exprime

l'épaisseur du mur en prenant pour unilé celle d'une couche.

La quantité de chaleur qui, dans l'unité de temps, passe d'une couche à la suivante est prccisoment celle qui pendant celte unité sort du mui par la face extivnie, dont la tenipuraUire est L

Celte dernière quantité de chaleur esl donc proportionnelle à T i

— ' — , en d'autres termes elle est proportionnelie directement

il la différence des temf»'» ratures extrêmes, et réciproquement à l'épaisseur du mur; du reste elle change avec la nature de la subsl^ince dans ce dernier. On désigne sous le rioin de coeffi' cicnt de conduclibUUé d'un corps la quantité de chaleur qui, dans l'unité de temps, traverserait l'unilé de surface d'une section faite parallèlement aux bases, dans un mur de celte substance de largeur indéfinie, d'épaisseur éi^ale à un , et dont les deux faces seraient maintenues à des icinpératures diiïérenles de un degré; on appelle en outre coefficient de condmHibilUé extérieure d'un corj)s la quantité de chaleur qu'il perdrait par unité de surface, tant par le contact de l'air que par rayonnement, si l'excès de sa température sur celle de l'enceinte où il se refioidit d ut un degré. La connaissance de ces coefficients est importante tlans toutes les circonstances où il s'agit d'apprécier les déperditions de chaleur qui se font par des mui >, par des f);tnu^ de fourneaux, etc. Nous t)'entrerons pas d;ms la (ll^('u^slon de touU»s les différentes exiu iiiMici'- qnt ont vlé ou proposées ou faites pour déterminer duei lemonL ces tiumbres, et nous nous bornerons à montrer ( (HnnioFU on peut déduire les premiers de l'observation de la prop.iL^;ii oa de ia chaleur dans les barres, c'est-à-dire dans des cylindres ou prismes conducteurs.

PROPAGATION D£ LA CUAJ.KUIl

g 3^ PKOPAGATION DE LA CUALEITR DANS UNE BAERE. — ÉQUATION DU PROttLÈME. — EBGIIERCHES £-XPÉniUENTALB$ DE. M. DESPAETZ.

Le problème de la propagation de la chaleur dans une barre est un de ceux qui peuvent se traiter aisément à priori, au moins lorsqu on admet que la température est la m^me dans toute rétendue d*une section faite perpendiculairemènt à Taxe de la barre.

Soit, en eflet, une barre conductrice homogène ayant même section S et même périmètre p dans toute son étendue. Supposons que Tune de ses bases soit maintenue à une température T supérieure à la température extérieure t; désignons par Q le coefficient de conductibilité intérieure de la barre, et par h son coefficient de conductibilité extérieure.

Soit, au bout du temps 1, y la valeur de la différence qui

existe entre la température de la couche située à une distance x de Torigine et celle de l'enceinte.

Si Ton considère dans la barre Irois tranches consécutives a, b, c (fig. 783^ d'épaisseur <:/./•, et dont la première soit, comme il vient dèUe dit, celle qui est située a une distance x de l'origine, elles auront respectivomeat pour excqs de température à lYpoquc l:

Fig. 4^3.

— — sr — "

et dans l'instant dl la couché 6 gagnera une quantité de chaleur égale à la différence qui exijste entre ce qu'elle reçoit de la première et ce qa elle perd, solt par ooolaetde l'air et rayonnement extérieur, soit par transmission à la couche suivante. La première de ces trois quantités, c'est-à-dire la chaleur

QSrft/rfi ,, . r.vue <îe la tranche a, est égale u — — , car elle est egaio

Digitizcû by

t»AIl COUDUCTIltlLITl i^h

à celle qui dans le temps Ht trii\ (m <o une pni tion S d'une section faile parallèlement aux bases dai)- un iiiur indéfini d'éj)aissenr rAr, el ayant k ses deux, es^lremiles d s températures qui diDerent

entre elles d*une quantité égale k ^ dx.

Si l'excès de température y est assez petit pour que la loi* de Newton soit applicable au refroidissement de la barre, la deuxième quantité, la perte que la barre éprouve à l'extérieur, a pour valeur phy dm du Enfin ce qu'elle transmet à la couche suivante est : *

I ''-'f J- \ Ai

Ce qui reste dand la trdnclie h pour on élever la. température est donc.

Celte quantité de chaleur produit dans Finstanl dt un -accroissement de température ^ dU

Si donc ou dési;j;u(' par c el p la chaleur et le poids speciliiiues de la barre, la quantité de chaleur que nous considérons pourra encore s'écrire :

et en égalant, les expressions (i) et (S; on aura

éuix ^os - puu^ ^-^ W ^' Ainsi y est une fonction de a; et I satisfaisant à la relation

^2l^ 1' lÎM —

dx» gs " di y •

.... d^y ph . ^

6t)i PROl'AGATial^ LA CUALEUB.

La détermînitkHi de la forme de la fonetiofi y est un probiènie en général assez compliqué, mais il se simplifie dans le eas paiy ticulier qui nous intéresse spécialement ici, celui oàla barre est arrivée à l'état d'équilibre.

Alors, en effet, y ne variant plus avec t, l'équation devient simplement ^

en posant

La forme générale de y qui satisfait à celte condition, ou si Ton aime mieux Tintégrale complète de Téquation, est

(5) y as Me" + K« *"

e est la base des lo^aiiUimos népériens; M elN sont des constantes qui se détenniiicnt d a[)rès les conditions du problème, par exemple, d'après la condition que y soit égal à T pour x — o, et il T| pour d' = 1,1 etiuîl la loiiL^urur de la barre. Nous n'insisterons pas sur la démonstralioa .malylique de cette assertion. Nous nous bornerons à faire remarquer que d'après les règles élémentaires du cakul des dérivées, la valeur de y donnée par l'équation (5) satisfait à Téqualion (4], et que de plus elle ronferme deux constantes tii bitraires.

Vériiications eiLpérimentale». — Reoherohes de M. Despreiz.

— L'équation // = Mp*** -f- Ne"*""^ conduit k des conséquences qui se trn lin-i'nt on lois pliysiquc^s importantes.

I)'al)()i(l. SI 1 on suppose la lonijueur / de la barre très-considéral)l(\ - )fi extrémité nonchautlee sera nécessairement à la température de l'enceinte, en d'autres ternies, pour x = l, y sera nul. Gela ne pourrait être si M avait une valeur différente de zéro. Donc, en ce cas, l'équation générale se réduit à

et N se détrrn^itio par la condition que y ait une valeur déterminée T, pour une valeur donnée de r. [v,ir exemple, pour o.

Dans ce cas. l'excès de température y décroît on progression géométricpie quand la distance a? croit en proij^ression arithmétique. Biot ol M. Uespretz outsucceââivemûot vérifié cette consé-

PAU GOUDUCTlBtLITÊ. m

quence en opérant sur de lrinp;ues barrof? de différentes sub^îtances. Ces barres avaient la fonviê do cyîiiKifOS ou de prismes (iroits; on y avait pratiqué, à distances ol^ Ios entre elles," des cavités desHni^es à recevoir les réservons de thormoinèfre^ Ins-sonsibles : un peu de mercure établissait le contrirt cniro ces réservoirs et )P5 parois des cavités où ils étaient n iifci mes.

Les températures d(* cf^s diiïérefits thermonielres étaient regardées et pouvaient ïviiv m ellet, comme celles des couches correspondantes. Dans de bonnes conditions, les excès de ces tempcraturc'i sur celles de 1 air décroissent en pronro^sion Sîéomélrique. De récentes expériences de M, Uouiilaud sur ce point ont vérifié les résultats de M. Despretz.

Quand les barres ne sont plus assez lonj^ues pour que leur extrémité soit à la température de Tenceinte, réquation qui donne y conserve la forme moins simple :

Mais sous cette forme encore, elle conduit à un résultat qui "a été vérifié expérimentalement. Voici en quoi il consiste : que l'on conçoive la barre divisée en tranches de mémo épaisseur, et que l'on mesure les excès de températures ^3, (Je trois

consécutives quf'K ()!iques d'entre elles, sur le milieu ambiant : si l'on divise la somme I, -|- ^3 des excès extrêmes par rexces moyen l^, on obtiendra toujours un quotient constant à quelque distance do l'origine que soient les trois tranches considérées;

en d'autpes termes, le quotient sera le même dans tonte

rétendue de la barre. Pour montrer, comment ce résultat se déduit de Téquation ;

remplaçons aoeeessiTement dans cette équatioo w par «, « 4- 1/^ i + fdy elle deviendra : .

y. 8 lté . + fte

Ifs = w c -j-Ht t

nk PROPAGATIOR DB LA GHAIKUR

on OQ tire :

— ai

g» + Ui M*

Effectuons la division et nous obtiendrons au quotient :

ce qui est en effet une quantité constante.

Or, la conâtante du quotient ^-^^^ est un fait qui résulte

clairement d'un grand nombre d'expériences faîtes par M* Despretz, par la méthode décrite aux pages précédentes.

Les raisonnements par lesquels nous avons établi réquation générale

supposent la fixité relative des tranches infinitésimales entre lesquelles on étudie les échanges de cfaaleuh Quand il s*agit de liquides, cette fixité n'a lieu que si les variations de température n'amènent mieun conrant intérieur, M. Desprets a réussi à réaliser cette condition en opérant sur des colonnes liquides verticales chauflëes à la partie supérieure par un vase rempli d*eau chaude sans cesse renouvelée. En ces conditions, mais en ces conditions seulement, les lois générales de la conductibilité s'appliquent aux liquides; dans les cas ordinaires ou les liquides sont chauffés ou latéralement ou par le bas, réchauffement <)e la masse se fait à Taide des mouvements qui s'établissent par suite de l'ascension incessante des oonches «kibanfUees.

Digitizcû by Go

FAa CONDUCTIDILITE. 6^5

PétouM'oatlon dei eoefioieaU de oondtMililMKté, R«climli«s à& M. Deiptets. — La eonstanle que nous avôns désignée par a dans le cours de celte théorie peut se délei;niiner numériquement dans les deux circonstances que Ton réalise habituelle* ment. -

Dans les cas des barres très-longues, celui où le décroissement des température se fait en progression géométrique le quotient q des excès de température de deux thermomètres successifs est

égal d'après nos notalïons précédentes à e"^, d'où Ton lire

ad lo'j e =i logqf a —

Dans le cas le plus ordinaire, celui des barres de moyenne longueur, la valeur constante q du quotient ■ - ^-^ est donnée par la relation :

ou eh muUipIiant par é

ad iad , ,

d'où l'on tire :

Dans cette équation il faut prendre le signe 4~ ^^^^ radical parce que doit être toujours plus grand que I , Or Téquation :

conduirait forcément à la relation :

et on multipliant ces deux relations on obtiendrait :

el par suite :

PB0PA6ATI0N DE LA CBALEUR

ftp

D*après la .déûntiion résumée dans réquation » la

constaAle a est d une part directement proportionnelle à la racine cari ëe du quotient ^ et à la racine carrée du coefficient de

conductibilité extérieure, et d'autre part, elle est inversement proportionnelle à la racine carrée du coefTicient de contluctibilité intérieure. I.a première de ces trois j)roportions a été vérili- o d'abord par M. Despretz, dans ses recherches sur la conductibilité des bquides, et ensuite par M. Gouillaud dans le travail que nous avons déjà cité.

Quant h la troisième, elle sert de point de dép:.rt à la méthode que M. Despretz a employée pour trouver les valeurs relatives des coellicients de conductibilité de différents corps.

Pour comparer les conductibilités intérieures de deux substances dilTérentes on fait faire avec ces substances des barres cylindriques ou prismatiques de mêmes dimensions, en sorte que p et S soient les mêmes pour Tune et pour Pautre. On les recouvre d'un même enduit; ce qui rend h constant pour toutes deux. Enfui, on détermine pour chacune la loi du décroissèment de température et on en déduit les valeurs de a' corces-

pondantes, aj^et a,*. Le quotient — ^ est égal au rapport inverse -r^ des cooificients cherdiés.

TABLE DES COEFFICI i: NTS l>i: CDNDUCTIBIUTÛ I.NTÉHIEUAE,

d'ai'rî^s ai. despretz.

Or 1,000

Argent 973

Cuivre 696

Fer , a74

Zinc 363

EtaiD 304

riomb...... m

MarbM ; U

Porcelaine , tS

T6m d«t foummox U

Dans les recherches dont nous avons plusieurs fols parlé en ce chapitre, M. Gouillaud s'est aussi occupé de chercher comment

les constantes M et N de l'équation ;/ = Me"^ + Nc~"* varient avec les conditions de Texpérience. Il remarqua d'abord que ces

Digitizcû by CoOgle

I^AH CONDUGtlBlLtTl ' W

deux constantes et IVxcès rie (» nipéralure T de la souree sont liées par la oondilioa londameolaie : - '

d'où,

en sorte que réqualioi] qui donne y devient :

et ceci posé, î1 a établi expérimentalement que dans les conditions supposées pour la formation de Téquation différentielle du problème, le coefficient M varie proportionnellement à Texcès de ta température de la source sitr l'enceinte, et que ^e plus, cette constante décroît en progression géométrique quand la fongueur de la barre croît en progression arithmétique. Tous ces résultais peuvent se déduire de la théorie et en sont de nouvelles vérifications. Nous renvoyons, pour plus de détails, au Mémoire de M. Gouillaud. [Ann., série 111, t. xlviii.)

Lorsque l'on peut regarder la valeur h du coefïiciont de conductibilité extérieure comme é^ale à 0, on rentre dans le cas de la propai^ation a travers un mur indéfini (§ 4). Alors, quand 1 etal sUUoiinaire est atteint, la distribution de température est

donnée par Téquation ^ «• 0, d où y Aâp ^ B« comme nous

TavofTS déjà vu. B est l'excès de lem|)erature iniMale T. Quanta la conslanto A, elle e^t déterminée si l'on donne 1 excès T, de la couche située à une distance / de l'origine. On a alors en elfet :

T,«A|+T, , d'où A=:Î2-^.

Daas ce cas on a donc

de ' i *

Or, la quantité de chaleur qui passe d'une tranche de la barre à la suivante est proportionnelle à celte valeur constante de

~ ; elle est donc en raison inverse de /. D*ailleurs elle est évidemment proportionnelle îi la section de la barre, et, d'après la définition du coefficient de conductibilité intérieure, elle est eu raison directe de co coelficienl. C'est le cas de la pajîe 089.

m PEOPÀ6ATION DB LA C1IALKUR.

Il on rc^iulte (\uo -i. flun- une onceinfc à tompérîîtiire entra une *ourre j lefïi|>értiL'jrp T -}- 6 et uneautre a tompéradir*^ T, -fon établit la communirâiion par deux fils pour le><:juel> /< -oi: nul et qui aient d iilli- urr. de» longueurs. df»>^ "^^rtions et d*''> con luefihilités différenles. les quantif»'»-; de rli.d<Hir qui dan? le mémo UimçA traverseroot la scctioo droite de ces tîls, seront, pour cbâ-

can, proportionndies à Texpres^on c'est-àMiire direcleineol

proportionnelles au produit de la section S et de la conductibilité Q de ce fil, et en raison inverse de sa longueur /. £t par suite ces quantités seront égales si pour les deos fils

les produits - sont égaux.

Cqncevons nmintenant qu'entre les deux source? considérées la communication soit établie par un conducteur composé des deux fils précédents raccordés bout à bout; supposons qu une fois rétat stationnaire atteint, il n'y. a pas de changement t>ni$que de température au point de raccordement de^ deux conducteurs, et qu'enfin les quantités de chaleur qui dans Tunité de temps traversent une section droite de chacun d'eux sont les

mômes. Dans le premier fil, cette quantité sera — SjQi dans

lesecond — S^Q, et par suite on aura déjà une relation

simple entre les secfions, les oonductibitttés dés dèux fils et la rapidité de la variation des températures dans chacun. Cette relation est :

On ^ut aller plus loin. Admettons, en eOét, qu'au point de raccordement, Texcés de température de la barre sur Tenceiote soit Z. 11 sera facile de déterminer cet excès, car on aura les ('équations suivantes :

.S...Î^...U. et ^s.Q,^ = s.o.îL^;

d'où ' '

Tout ce qui précède est relatif k la propagation d« 1« chaleur dans les corps bomo^^nes , et dans lesquels on peut sdmettr»

Digitizcû by

lèOHAUPrfiMBNT DBS ÙIZ.

que les conditions de cotte propagailua no dépendent pas de la direction dans laquelle elle s'opère.

Celle indépendance n'a {)Ius lieu (lan> les corps qui sont cristallisés dans un systènle difTéronl du système cubi-jun. .M. do Sénarmont a mis en évidence do la manière suivaiUo l'iiiégalo ra{)idilé do cette propagation suivant les différentes directions. Il faisait tailler le cristal sur lequel il voulait opérer de manière qu il présentât une face plane d'une certaine étendue, et dans sa partie moyenne il perçait normalement à celte face un trou étroit et cylindrique , puis il recouvrait de cire la face sur laquelle il voulait opérer, et quand cette cire était bien solidifiée, il iuLroiliiisait une tige clumdo dans la cavité cylindrique centrale. Au iiout d'un certain temps la couche de çwo <o trouvait fondue à des distances dà(iérenie$, suivant les diUereutes direciiaus.

§ 4. — BCHAUPFEIIBNT DES GÂX.

T.a mobilité des gaz, leur grande diathorniarir ile. la faiblesse extrême de leur densité, rendent fort diliicile toute étufle dircf to sur 1 1 conductibilité propre de ces corps. On pe\if seultMiiont aliirmer que cette conductibilité est trè.^-fail)le. car une couche gazeuse dont les mouvements ne peuv(mt plus lil)rement s'accomplir, constitue une enveloppe éminemment propre à préserver les corps du refroidissement ou du réchauffement.

Ain=^i, on ralentit beaucoup le refroidissement d'un corps chaud en l'entourant d'une couche épaisse de du\^t et le plaçant, ainsi entouré, dans un vase métallique fermé et à parois bien brillantes. Le duvet ici gône les mouvements de l'air. C'est pour une raison analogue qu'une couche do paiHe un peu opaissè préserve fort bien du froid de l'hiver les plantes qu'elle recouvre, ou empêche 9i elTicacement Tété la chaleur de pénétrer dans les glacières.

Mais, malgré ce peu de conductibilité propre, les gaz, quand ils ont toute liberté de se mouvoir, peuvent devenir des causes puissantes de refroidissement, parce.que les couches qui se sont échauffées au contact des surfaces chaudes sont incessamment remplacées par des couches plus froides, et, si faibles que soient les pertes de chaleur d lies à chacun de ces' contacts successifs, leur somme devient bientôt considérable.

D'après ces simples indications sur la manière dont s'exerce l'action refroidissante des gaz, on conçoit que les lois de cette action doivent être fort compliquées. Nous verrons dans le char f^itre 6»iva0t è q«els r^u^tats on est anwé en les étudiant dans jqiifllipM en |Mi(toalîeri.