TT8 PROPAGATION DE L'ÉLECTRICITÉ

sivemeot âux deui cas qu'il avait traités eipérloientalemeiit. D'abord, qoand il s'agil du fil le pins court, y doit être égal à 56 pour jr«0, a 48,S pont x»2, et à 0 pour a7»4. De là (rois relations qui permettaient de déduite M, N et a. En oalculant de même la série d'expériences failee avec le deuxième fil, on en déduisait ansai la valeur de la constante a. Or, ces deux valeurs se sont trouvées sensiblement égales, comme cela doit étie au point de vue de notre théorie.

ouf*— net wieUei^ Avant que le conducteur n'ait atteint cet état staUonnaire que noua venons d'étudier, la tenaion électrique en chacun de ses pointa varie d'une manière continue. Pour savoir ce qu'elle est à une époque quelconque <, et plus généralement pour déduire de la tfiéorie la solution des diverses questions qu*on peut se poser relativement à Tétat variable de la barre, il &ut prendre l'équation sous l'une des deux formes,

(*) asi^ï'w ^ ip = J*-5î + <»'ir.

suivant qu'on pourra ou non négliger les pertes par l'air et les supports, lesquelles sont représentées par le terme en y.

Supposons d'abord qu'il s'agisse du premier cas. Les dérivées successives d'une fonction de la forme M&^i, dans laquelle ( est la variable et a' un nombre positif, ne diffèrent de cette fonction que par des facteurs positifs; et, d*autre part, des fonctions de la forme Viêinvb^x + R'eoair6*x, se reproduisent les mêmes, à un fecteur négatif près , après deux dilTérentiations successives.

Enfin, la dérivée deuxième d'une fonction du premier degré en est nulle d'elle-même.

Ceci posé, il est évident qu'une fonction y donnée par la relslion :

satisfilit pour un choix convenable des constantes à une relation difièntielle de la forme :

L'équation (3) définit y par une relation très-généraîe. On démontre qu'elle est l'intégrale complète de {%), Sans insister sur ce point analytique, nous allons faire voir comme cette relation (3) a été vérifiée par rexpérience.

BilfS tBS GONDUCTXIIRS. m

Supposons que le (onducteur soit isolé et qu'il ail une longueur l, il faudra qu'au bout d'un temps suiiisamment grand la tension soit la môme en tous ses points, et é^îe par conséquent à celle do la sourre. Il en résulte que la ronstante A doit précisément être égale à ia (ension de la source et que B doit être uul,

Ainsi l'équatioQ (3] doit prendre la iorme ;

PqIs, comme y doit être égal à A, quel que soit t pour âP«»0, il eu résulte que la constante N elle-même est nulle. Enfin, si Ton

admet que ^ soit nul au bout du conducteur, à toute époque,

on en d'autres termes si Ton admet que vers cette extrémité les tensions des tranches contiguës sont sensiblement égales entre

elles, il en résulte : .

d'où

£a(ia, pour que l'on ait ^ ^ ^ ^^^^ qu'entre les constantes 6* et a' existe la rdaticm:

• (S Usmb'x )=z i*a'S ( M sin ir-x ) e "~ OU Wcn =

Si maintenant, à la place de {<., nou$ remettons la valeur

(voyez page 773), l'équation qui donne y dans le cas particulier qui nous occupe sera :

É .^ (in 4- 1 )^i:'0.

y = A — S^M«<n fi ^) ' *^ î

Pour que y prenne une valeur déterminée A| au point où x^L il faut qu'on ait :

(4) A-A. = S(M*<niîii-±-!i^i)« kliq

D'où résulte que si Ton fait changer / et Q, la valeur de

780 PnOFAGATlON D£ L KLECTAICITÉ

poar laquelle A — A ^ reprendra une valeur déterminée, au point pour lequel on a x « sera inversement proportionnelle à Q et directement proportionnelle au carré de L

Pour vérifier ces diflférentes conséquences de Téquation (4), M. Gaiigain mettait en communication avec un petit électroscope à décharge l'extrémité des différentes colonnes d'huile dont nous avons parlé, et il mesurait le temps qui s'écoulait entie le moment où l'Iiuile était mise en communication avec (a source et celui où la lame d'or de rcloctroscope à décharge viMialL pour la première fois toucher la tige de décharge. Ce temps était, comme la théorie l'indique, proporlionnello à /- et en rai>oh inverse de Q,

Généralisation de la question précédente. — 1) après tOUt Ce qui précède, il est facile de trouver une expression de y qui satisfasse au cas le plus général du problème et par conséquent à l'équation :

D*abord, comme pour les valeurs du temps très-grandes, cette expression ne devra pas différer de celle qui salistait simple*

ment k l'équation ^ » a^y^ il en résulte qu elle contiendra

un terme indépendant de t, de la forme «f Ne ; puis, pour 0 ss 0^ sa partie variable devra se réduire ù

Uii4ï l'onction é^ale si la tîommc de vit^ deux «pianlités aura pour dilTéronlielle seconde» |>ar rapport ii

et pour diffei e iiiiLlif première par rapport ù

Pour que la différence entre la première de ces deux quantités et le produit de la seconde par u. soit égal au produit de la

Digiiizixi by Coogl

BANSL LES CONDUCTEURS. 7it

fonction // par il suffit que i on ait i^a' — 6* «= a-. Sous cette coodition 1 équation :

est une intégrale de l'équation différentielle :

Les conditions particulières aux extrémités de la barre éta-*' blissent de nouvelles relations entre les constantes de cette équation et, dans tous leacas, un nombre suffisant d'expériences permet toujours de les déterminer.

§ 4. — PROPAGATION DK t/ KLECTRICITÉ DANS LES FILS TÉLÉGRAPHIQUES. — ÉTUDE DE L ÉTAT VARIABLE.

Reehefoliet de M. Oiiittemio. ^ M. Girîitémin {Âm. de chim. cl phys.,i' 60) a étudié, pendant la durée de l'état variable, la propagation de rélectricité dans les îils télégraphiques. Ces fils no sont jamais parFaitement isolés; les phénomènes qu'ils présenleiiL sont donc de ceux (jui rentrent dans le cas très-c:énéral que nous venons d'étudier. De plus, malgré leur extrême longueur, leur grande conductibilifc rendait très-courLc la période de variation. Le problème était donc fort difficile, La méthode eni[)loyée par M. Guillemin revient à celle-ci : mettre pendant un temps trèscourt, quelques millièmes de seconde, l'un des pôles d'une pile en communication avec une des extrémités d'un fil télégraphique dont l'autre bout comnmnique au sol, et mesurer la tension donnée, au bout de ce temps très-court, à une tranche quelconque 0 du fil. Le second pôle de la pile communique au sol. l*our mesurer la tension au point 0, M. Guillemin y applique un des bouts du fil d'un rliéomètre, l'autre extrémité de ce fil communiquant aussi au sol, et c'ost d'après la marche de l'aiguille qu'il cherche à estimer la tension. Mais ici <g présente une nouvelle dithcultéqui paraît au premier moment insoluble. Pour qii(> les indication^ du rhéomètre puissent réellement renseigner sur la tension en 0, il faudrait que le contact en ce point ne durât que pendant une fraction néglii^eable du temps déjà si petit que le fil a mis à se charger; et bien évidemment un contact si court ne pouvait pas imprimer à l'aiguille une déviation mesurable.

Mais on conçoit que, si faibles que soient ces actions dues k

PROPAGATIO?! DE L'ÉLECTRICITÉ

des contacls presque instantanés, on peut, en les multipliant urt grand nombre de fois û la seconde, finir par en rendre les effetssensibles. Pour y arriver, M. Guillemin a opéré de la manière suivante : Il faisait communiquer le pôle avec le ûl pondant 7i millième de seconde, et au bout du n« millième de seconde, il faisait au pointO avec le rhéométre une dérivation durant seulement 4 ou 2 millièmes de seconde. Alors il ramenait le fil télégraphique* et le rhéométre à l'état naturel, puis recommençait la même série d'opérations et la reproduisait un grand nombre de fois en un très-court intervalle de temps. Pour une ré|)étition assez rapide, l'aiguille du rhéométre prenait bientôt une déviation fixe qui servait de mesure à l'intensité de la dérivation et, par suite, à 1* ténsion en 0.

Supposons que sur un plan isolant soient appliqués : premièrement, une lame conductrice ABC en communication permahente avec le pôle P (fig. 805; d'une pile constante, dont le second

pôle soit au sol, et une plaque conductrice de forme trapézo'idale DEFG en communication permanente avec le sol et ayant son côté Fil parallèle au côté AB de la lame ABC. Si un fil d'OS est en contact avec le sol en S, et si l'on promène Pextrémité d' de ce fil sur ABC, il y prendra de l'électricité. Si d' se meut uniformément et parallèlement à BG, et toujours dans le môme sens, la durée du contact sera proportionnelle à la distance qui sépare le point où se rencontraient les lignes BA et GA de la droite que d' décrit sur ABC.

Quand d', dans son mouvement progressif, aura franchi Feapace iaoiant ABFG et se sera oiia en contact avec le trapèae conducteur DH, il se déchargera complètement dans le sol.

Soit mainlenant une languette conductrice triangulaire LL', ayant un de ses côtés en prolongement de BA et se trouvant d'ailleurs en communication permanenle avec un galvanomètre G, dont le fil communique d'autre part au sol : supposons que le fil de dérivation dO se meuve parallèlement à d\ de manière qu'il oommenoe à toucher la languette en pendant que d' est encore sur le conducteur ABC, et de manière aussi qu'il arrive sur bois en c, lorsque d' arrive de son côté en c' au bord de Tespaee isolant ABHP.

Le fil Od aura, pendant qu'il traverse le tnyet de sur la languette oblique, lancé dans le galvanomètre un courant dérivé proportionnel à la charge que le fil H a acquise en 0, après que le contact de M avec la pile a duré un temps égal à celui Ipendant lequel Teitrémité a parcouru le trajet Id'.

Tout ceci compris, il suffit de supposer les lames conductrices ASC, DEFG, LL' et RR' enroulées sur un ôyliildré ayant son axe parallèle à AB et qui puisse recevoir un moUvMént uniforme et rapide, pour se faire une idée généralë de la disposition à l'aide de laquelle M; Guillemin est parvenu à abordér cette étude si diffldlé dé la charge des fils télégraphiques^ et à mettre en évidence la concordance dés rééultats de cette étilde avec la théorie, que nous avons éxposéé eti ce chapttt^.