TABLEAUX
REPRéSBNTANT LA DISPOSITION VES VBimES ET DES NQEODS DE VBIUTIOMS DANS LES TUYAUX SONOEIS, ABSTRACTION FAITE DE tOQTB PBitTOlIBATlON.
Flg. «0. < 5
TnTAOX lOUCHil.
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Is Vs la Vi II V| B
TOTAVl OOTEATS.
Fig. AÏU ( ^
C B A Us V| Il B
C B A N; V* I» y, Il B
Ut4
flOl«
Le son ut| serait rendu par- le bourdon ÂBCD (fig. 421), vibrant sans autre nœud que celui du fond BD. L'existence des nœuds et des ventres dç vibration, les ni[>-
TliYilUX SONOHftS.
ports do position qu il> ont entre eux, les rapports do position qu'ils ont avec l'extrémité opposée h l'origine, caractérisent d'une manière très - nette l'état de nuiiivement de la colonne d'aîr intérieure. Or, tout-es ces données expérimentales se présentent comme des conséquences nécessaires des })rinci[)es prérédemnnent posés touchant ki réflexion du son et touchant les interférences des ondes directes et réflérliies.
Dans les tuyaux bouchés, en effet, la disposition des ventres et des nœuds est identique à celle que M. Snvnrt et queM.Seebeck ont obtenue en étudiant la réUexion contre un mur indé* fini.
Dans le cas des tuyaux ouverts, elle est inverse de la précédente; mais pour expliquer cet échange de position, il suffit d'admettre qu'à Textrémilé ouverte les réflexions se font sans que les vitesses changent de signe, maïs avec changement des dilatations en condensations.
Les calculs s'effectuent comme à la page 49, avec ratlention seulement de changer le signe de \',
Mais les raisonnements et les calculs auxquels nous renvoyons ici n'indiquent rien sur l'état de Forigine; et c'est en forçant un peu les indications de l'expérience que nous avons admis dans tous les cas la coïncidence de l'origine avec un ventre de vibration.
Voici donc maintenant par quelles considérations on se rend ordinairement compte de la coexistence nécessaire d'un ventre de ribration avec l'origine du tuyau dans tous les cas, et avec l'extrémité ouverte lorsqu'il s'agit de tuyaux ouveris.
fidttenoe d'un Tentre m l'origioe. — Lorsqu'une masse d'air a pris un état de vibration régulier sous l'influence d'un système d'ondes directes et d'un autre système d'ondes provenant de la réflexion du premier sur un obstacle quelconque , les ventres de vibration sont définis par ce double caractère de présenter une intensité de mouvement plus grande que partout ailleurs, et une condensation nulle. L'inverse a lieu pour les no'uds de vibration.
De là résulte i umme conséquence nécessaire, ou au moins trèsprnljable, qu'aux points où un tuyau s'ouvre dans l'air il doit y avoir veiUre de vibration, d'abord parce qu'en ces points la pression moyenne ne saurait dilTérer beaucoup de celle de l'atnio-phère, et ensuite parce que le renforcement du son amplifié parle tuyau sera maximum, si les couches d air de celui-ci, qui transmettent la vibration à l'extérieur, sont celles où Tinleosité du mouvement est maximum*
TUYAUX âOMOH&S.
Influence des réflexions successives. — Tout OS ces Considérations sont plausibles et exactes, mais il faut ajouter qu'elles sont iiibu ilisantes, parce qu elles laissent inexpliqué un des points fondamentaux du piiénomène, à savoir, l'énergie du renforcement.
Nous avons jusqu'ici raisonné comme si tout se trouvait produit par l'interférence d'une onde directe et d'une onde réfléchie seulement; mais, dans les meilleures coadiLions, dans le cas uù la réflexion n'apporterait aucune perte d'intensité, l'intensité du mouvement pourrait au plus être quadruplée par le fait de cette superposition. Or, si l'on compare Textrême faiblesse du son que rend l'embouchure d'un tuyau prise isolément à la pu]^sailce du mouvement vibratoire excité dans l'air par la resonnance de celui-ci. on reste convaincu que I nction du tuynu accroît l'inteiisité du son de remboucliure dans un rapport incomparablement plus grand que celui dont nous avons donné tout à l'heure Texpression; suivant toutes probabilités, voici la raison de ce renforcement éneririque : l'onde réfléchie, au moment où elle revient à l'origine du tuyau, y éprouve une réflexion nouvelle ; si cette nouvelle réflexion est assimilable à celle qui a lieu à l'extrémité d'un tuyau ouvert» et si l'orifice est à une distance du fond égale à un nombre impair de demi-iongueurs d'onde simple, l'intensité du mouvement intérieur est accrue, mais point d'autre changement, car cette nouvelle onde, qui part de l'origine absolument dans les mrnips conditions que l'onde primitive, se réfléchira comme elle au fond, et constituera, avec son onde réfléchie, un système tout semblable à celui que nous avons d'abord considéré, et qui ne fera que se superposer avec lui.
Sans doute, on pourrait objecter que la réflexion produite à Torigine du tuyau est plus compliquée que nous ne le supposons ici; car s'il y a à cet orifice un orifice par oh le mouvement peut se répandre dans Taîr, il y a aussi un fond solide contre lequel doit s*opérer une réflexion semblable à celle qui a lieu au fond des bourdons; les effets sont inverses, et il doit en résulter un décroissement dans Tintensilé des mouvements qui proviennent de ces réflexions multiples. L'effet total de ces réflexions se trouve alors diminué; mais dans les circonstances ordinaires il reste encore très-puissant.
N, Dans ce qui va suivre, nous avons fait de larges emprunts aux travaux de M. Poisson et de M. Hopkins, et surtout à la Théorie nouvelle des tuyaux souores , de M. Quet, et à un UrtnooU inédit de Al. lid. Desains sur lea mèmei maUeres.
TUYAUX 801I0RK8.
§ 2. — TfiÉufiii:: matuëmatiuue des TLYAUX SOr^UMbi».
i'our ne pas laisser trop incomplet le développement de i importante théorie qui nous occupe, nous allons maintenant calculer le inouvein«Mit des couclies i^azeuses. en admettant que les réflexions qui > opèrent aux deux extrémités des tuyaux s upèrentavec {)ei le d intensité et chani^emenl dans ici de vibration, et cette dernière hypothèse introduira dans les résultats des termes correctifs qui représenteront ce (jne l'on appelle d'ordinaire l'iuiludace perturbatrice de Torigiae et de i extrémité du tuyau.
Comme nous ravons déjà fait remarquer, si en un point <> d'im tuyau il exi&ie un mouvemeat vibratoire défini par la relation
U»a5m 2?^^, à unedistiince x du point o, les molécules de l'air
auront une vitesse v égale à a sin tit j^, ^ étant la longueur d'onde du son qui se propage, et 9 le reste de la division de X par /. Il faudrait dans cette expression accentuer a si Ton supposait que des causes quelconques fissent, d'un point à l'autre du tuyau, varier la grandeur de la vitesse maximum des molécules vibrantes.
Si maintenant il arrivait que différents mouvements de cette espèce, tous dirigés suivant une même droite, vinssent concounr en un même point et y combiner leurs effets, la vitesse du mouvement résultant serait périodique. Sa période aurait une durée t, idcnticpie à celle des mouvements composants, par conséquent eniin la vitesse V de la sibratiou résultante serait donnée par 1 équation.
Pour déterminer les coefiicients A et ^, on exprime que la vitesse V est la somme algébrique des vitesses composantes, r, Ce qui conduit aux équations suivantes :
/ c fa a' sintr. - eus ir a' cos Ir. - siii 2r ^ -j-
6i TUYAUX SONORKS.
Cette équation doit être vraie que! que soit et par suite il faut que Ton ait
A oof 2ie y s Xa cos 2iE
d'où l'on tire
et
(l) A» = (a cos 2« j) j + 2« -jj j
<2) Ifltw Î1C 7- =s
Z a cos 2s j
Avant d'aller plus loin il faut préciser la signification physique du quotient ^ ; voici comment : les vitesses données par les
équations U « a «tu 2 ir - et t? = o sm 2 « f - — ^ j n'atteignant pas leurs maxima successifs aux mêmes instants; — pour le second mouvement les époques des maxima sont en retard
sur celles du premier, et le produit y. t est la mesure de ce re-
tard.
L'angle %k ^est ce qu'on appelle la phase de vibration du
deuxième mouvement.
Si en jiarticulier il s'agissait de combiner deux mouvements a\aiil toujours a et a' pour coefficients de vibration et pour lesquels 2ir p 2 r J fussent respectivement égaux à p et p' — i'intensité Â* de la vibration résultante serait donnée par Téquation.
A' = ri* fos^ p 4" i' "h P f'
OU
A«=ft» + a'»-|- 2oa'co«(e*- r)
L'interprétation <>:éométriqtte de cette formule est très-simple î — on en déduit en etfet que pour obtenir Tintensité, il faut, au point 0 d'une droite quelconque OX(ûg« mener une ligne OBstf,
TUYAUX âoi^oass.
61 Àteant avec OX un angle BOX wm puis au p«inl B, mener une autre ligne BC = a\ et ftiisani avec OX un angle p', en6n joindre OC, la ligne .OC représentera Â, et l'angle GOX sera la pbase 4»|. du mouvement résullant.
car
Supposons maintenant que l'on ait un autre mouvement résultant aussi de la combinaison de deux vibrations simples, dont les coeflicients soient respectivement ma et ma\ et les
P 4- »r -= B'OX et p' + V « C'HX, 1 loletiàité de ce nouveau mouvement sera
Quant à la phase, elle sera évidemment + v, carie triangle OBC est sennblable au triangle OBC, et par suite Tangle C'OX ne diffère de Tangle COX que d'une quantité égale à la diffëreace des angles B'OX et BOX.
0 Htt F EX*
Fig. 422.
Ceci posé, il est éfvident que^ si en un point p du tuyau, on considère deux vibrations élémentaires , l'une venant de l'origine, rautre revenant du fond» après y avoir subi une seule réSexion de plus que la première, le rapport m des amplitudes lie ces deux vibrations sera indépendant du nombre de réflexions que l'une ou l'autre aura antérieurement subies, et la différence x
•i TUYAUX SONORES.
de leurs phases sera aussi constante; die ne dépendra que de la distance y du point p au fond du tuyau, et du retard particulier que la réflexion sur ce fond peut déterminer. L'intensité du mouvement résultant de ces deux vibrations élémentaires aura une expression de la forme :
a' ( i + m* + 2m cm x)*
Sa phn^o m pourra être ailculco par la formule (3) en fonction do / (]>? la phase Kdu premier do ce^ mouvements.
Que mamlenant l'onde en retour coût mue sa route, elle réfléchira h l'origine et reviendra de cette orisine pn />. en y apport;mt un nouveau mouvement clémorUaire dont le euenicient de Vibration ne sera plus a, mais amm\ et dont la phase différera
de celle de a d'une quantité s égale à 2r -j- •/.' j, x' représentant la somme des retards positifs ou négatifs produits par les deux réflexions subies aux deux bouts du tuyau, et L. la longueur du tuvau.
Et les choses se continueront indéfiniment de la môme manière.
Donc, pour avoir le mouvement total en p, il faudra combiner une série de mouvements dont les intensités sont respectivement,
rt» C ! -f 4- 2//( ros y ) = A' «»'♦ o» ( 1 -i- »»2 ^ iw x) = »«'* A2
et dont les phases sont
«-fi
tl + s2
11 en jésuite que, pour déterminer l'intensité du mouvement résultant définitif, on auxa l'équadon :
A = A' [ to.'* « + m' cos {» z) -\- ro.M» + ) 1*
A,^ i^inm^m' 9in {m-^ z)'^m'* Êin (m ^ iz ) ?
OU, ce qui revient au même, comme on s'en assure aisément :
A,' = ' + f'OA z -f ros iz -f- vi'^ ffw 3; y
+ A2 (0 -f tu' êin » m" iin U + an'' «m 3z..... )^
TUYAUX SONORES. «5
Or« les scinmes des séries entre parenthèse sont connues; la première est :
ia seconde est
Il en résuhe
m' sin z
A» «*(!-[- -f Imconj)
La diecussioibde cette formule ne présente pas de diffioulté.— l>*abord » si m est plus petit que l'unité , l'intensité A* du inoovement de Tair ne pourra jamais être nulle; en effet, la plus p^te Taleur du numérateur est égale à ( 4 — m } ^, ce qui est une quantité essentiellement positive; mais si A| ne devient jamais nul , il acquerra des minlma et des maxima d'autant plus prononcés que m sera plus voisin de Tunité.
La valeur du dénominateur étant indépendante de t^, on obtiendra les valeurs de y qui repondent aux maxima et aux minima de la fonction, en cherchant celles qui répondent aux maxima et aux minima du numéralour.
Les premières sont données par l'équation co5 x = 1^ l^*s M.comk'S par Téquatiou vos x = — L Or, l'angle x est égal à
2ff [ ^ + T K c étant le retard dû h la réflexion.
Dans le cas des tuyaux tenues, ce retard parait diUerer peu
d'une demi>onduIation ; posons donc r = - + - ; serait nul
si Ton adoptait rigoureusement ce que Ton appelle ia théorie de fiemouiili.
De réquation
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Digitizod by G<.jv.' .ic
(16 TtTYAUX 80BiO&E6.
Pour délerminer la position des minîma ou aœuds de vibration, il faudrait résoudre l'équatioa
d*où
ni — t'
Ainsi deux nœuds ou deux ventres consécutifs sont toujours distants d'une quantité é^e à une longueur d'ondulation simple.
Toujours la distance d'un ventre au nœud lo plus voisin e^t égal à un quart d'onde complète ou à une demi-iongaeur d'onde
simple.
Mais la distance qui sépare du fond même du tuyau le premier nœud que Ton rencontre ens'avançant vers l'orifice, au lieu
d'être 2 , est ^ — ^. Seulement comme on le verra plus loin c'
parait être très^petit.
Quand il g*agit de tuyaux ouverts, la réftezîon ne ebange pas le signe des vitesses. Nous laisserons alors à l'équation qui donne la valeur de x la forme sous laquelle elle se présente naturellement. Nous représenterons par c, le retard dû à la réflexion qui s'opère ronire l'air extérieur, à rextrémité ouverlt^ du tuyau; et alors pour avoir les maxima ou ventres, il faudra satisfaire k la relation
laquelle coïncide avec celle qui donne la position des nœuds dans le tuyau fermé, au moins si on admet que Cj » c\ et en particulier si l'on admet que C| et c' soient tous deux nuls. Réciproquement l'équation
donnerait les nœuds; l'on voit qu'elle est semblable à celle qui définissait dans le cas précédent la position des ventres.
TUYAUX SOi^ORES.
La position des ventres et des nœuds ne dépend pas de la longueur du tuyau; en d'autres termes, elle ne dépend pas de la position de l'origine par rapport au fond.
Mais c'est de ce dernier élément que dépend, pour un tuyau, la possibilité de renforcer tel son plutdt que tel autre.
Si le tuyau est fermé, il paraît naturel d'admettre que les sons les mieux renforcés, ceux que le tuyau rendra le plus voiontiers sont ceux pour lesquels Tintensité de la vibration acquerra un de ses maximum àTorigine même du tuyaii, à l'endroit par lequel la vibration peut se communiquer à l'air; en un mot, au point pour lequel on a y « L, L étant la longueur du tuyau.
Cherchons donc pour une valeur déterminée de L quelles sont l€s valeurs de I qui rendent maximum l'expression
