j- -}- 2m cm

X, et Si étant les valeurs quo prennent y et s au point pour lequel 1/ = L. Et pour éviter, dans cette recherche, tout développement de calcul inutile, bornons -le au cas de la pralicpio, c'est-à-dire au câs où le tuyau renforce énergiquement Je son produit à

Torisine.

Pour que ce renforcement énergique ait lieu, il faut que le dénominateur i -\- m'* — 2m' cos puisse devenir très-petit, par suite m' doit être voisin de 4. La valeur de Z|, qui rend ainsi le dénominateur le plus voisin possible de zéro , est donnée par féquation cos st^ s=s 4 ou

f\ étant le retard du a !a réflexion a loriglDe. Posons c' 4- f'i = K, et 1 équation précédente deviendra,

s 3ie

ssSi:

OU

iJL K J 3 5

OU enfin, en posant i » 2/',

6g TIITAUX SON^mit.

dûù

Or, los valt in - Ho ainsi délerminées. pt'iivent être considérées roMinic l't'iies qui répondent au loaxinium de la l'onction. En effet, po> m-; m' = ( 1 — ^ étant fort petit; lorsque cos j| «» le dénominateur devient

2 — -|- 1* » 2 4* S' on simplemeot

Supposons que co$ diminue de Je dénominateur devient

2 ^ — 2 ( < — 5) (1 — ^ ) 2 — Î5 4- 42 2 21 ^ 21 *, iiJ

OU bien, toutes réductions iaites,

Il s'est donc accru dans une proportion très-considérable ; il est devenu égal à sa valeur première raullipliée par — , tandis que la valeur du numérateur a changé à peine.

Ainsi donc, les sons que le tuyau renforce le plus possible forment une série d'harmoniques impairs, et le plus grave d'entre eux a une longueur d'onde égale à 9 (L + 4/2 K).

Sans doute, d'autres sons que ceux-là peuvent être renforcés, mais si peu qu'un son s'éloigne de la série que nous venons de définir, l'intensité en diminue, comme nous venons de le voir» avec une rapidité telle qu'on ne peut plus le considérer comme réellement renforcé par le tuyau.

Si le tuyau était ouvert, pour avoir rigoureusement la condition du renforcement maximum à l'extrémité, opposée à l'embouchure, il faudrait, en cherchant la condition du maximum de A^, supposer que X et 2 ont les valeurs qui répondent à 2^ « 0. Alors l'angle x

se réduit à %is p, C| étant le retard possible dû à la réflexion contre

Y + y + -y j ^ c'i conserxant la même

valeur (juo dans le cas précédent.

La valeur de /, qui répond au maximum, est donnée par réquation

TUYAUX SOiXOlibS,

et il est à remarquer que cette valeur fait aussi acquérir à intensité du mouvement à l'origine une valeur qui ne ditfère pour ainsi dire pas du maximum relatif à cette origine. Si l'on résout Téquation

l + Îr's/', ... V ... a/'...

= 1 (L-i-l/âR').

§ — DISCUSSION EXPéniMCNTALE.

Pour discuter ainsi que noug venons de le fiaire l'équation

— ^' ( t 4* + ^M* <OJt x>

nous avons admis que les retards possibles dus aux réflexions à chaque bout du tuyau ne dépendent ni de la longueur d onde ni de colle du tuyau. Cette hypothèse était la plus simple, et Teipérience la confirme.

EeehafdhM de M. Wertheim. — M. Wertheim a reconnu, en effet, que si Ton fait parler différents tuyaux ouverts, tous formés en ajustant sur Ja même embouchure des tubes de même diamètre, mais d*inégale longueur, les sons que Ton en tire satisfont toujours à cette condition que leur longeur d*onde s'obtient en divisant par Tordre de Tharmonique obtenu la longueur . L du torao accrue d'une quantité Z, qui reste la môme dans tous les cas.

en posant on en tire

TUYAUX S0N0BE8

Cette correction Z varie avec le diamètre du tuyau, et elle

augmente avec lui.

Elle change peu iorsqu'oa traDsfonne un tuyau ouvert en bourdon, et dans ces circonstances die parait éprouver une légère diminution. 11 est bien entendu, toutefois, que, dans le cas des bourdons, pour obtenir Tonde du n"** harmonique, on doit diviser par 2»— 4 nonplusL + Z', maisS (L-f Z').

Le peu de différence qui existe entre Z et Z' peut porter à croire que les perturbations, en vertu desquelles les corrections dont nous parlons sont nécessaires, ont lieu surtout à Torigino , et c'est en vertu de leur action que la distance du ptemier nœud à Tembouchure est toujours notabielBient moindre que la demilongueur d^ondulation simpî» du son produit.

Mais dans Tintérieur du tuyau, quand on se place en des conditions convenables, l'intervalle de deux ventres ou de deux nœuds consécutifs paraît être égal, ainsi que la tliéorie l'indique, à la longueur d'ondulation simple, ou, si Ton aime mieux, à la demi-longueur d'ondulation complète.

Bernouilli l'admettait comme résultat de ses expériences, et à l'appui de cette opinion, nous indiquerons deux séries d'observations qui peuvent ùtre aisément répétées.

Les collections d'acoustique renferment presque toujours une nùte formée de ciiuj parties pouvant s'ajuster les unes sur les autres : la première constitue une sorte de sifflet, qui, monté sur la soulllerie, donne un son bien net et connu; or, cette première partie est toujours pins vnuvir i]uo Ponde du son qu'elle rend; les autres ont chacune exaclement ia iongULMir de celte onde, et Ton ne modifie en rien le son produit en les ajustant successivement sur la première.

Recherches de M. Masron. — Ainsi, d'après M. Masson [Ann. de Ph. et Ch., t. XL, pajre 46:2 s une flûte de ce genre rendait comme liarinninijur , à ia température de 10" un son caractérisé par nne Imi^* m d onde de O'°,138o. Or, la première partie de la flûte, celle (im portnit !Vnd)ouchure, avait seulement une longueur de 0'", lu i tiuidi- que les autres étaient longues piécisément de 0"',43S couiuk; la théorie rindifpie.

Reoherchef de MM. LÎMajous et P. DeMÎns. — La SOCOnde

preuve qu(» je citerai à l'appui de l'assertion de Bernouilli résulte d une série d'expériences que nous avons faites, M. Lissajous et moi, pour reconnaître si la distance de deux nœuds dans un tuyau qui rend un harmonique supérieur est bien égale, comme la théorie l'indique, à la longueur de l'ondulation simple du son rendu par le tuyau

TUYAUX SONORES

Pour nous rapprocher autant que possible des conditions admises dans ]e calcul, nous opérions avec un tuyau long ^ étroit et embouché sur tout son pourtour.

la disposition générale en est indiquée sur la figure 423.

Fig. 423.

Fig. AU.

Le lui)o principiil AB aminci en biseau vers son bord A. jkissp à frottement dans une bague soutenue par la traverse KK': cette traverse se relie au moyen des tiges KM, K'M', à la pièce MiM' dans laquelle est fixé le porte-vent.

Le porte- vent se compose :

\" he trois tubes DF, I)', F' ffig. 425, disposés symétriquement autour de Taxe du tuyau; l'un de ces tubes est visible en DEF (fig. 4^3) ;

2* D'une cavité comprise entre la partie intérieure du tube G ^fi^. 413 ) et la surface extérieure, de la pièce OH'G' (fig. 424J qui se fixe dans le tube G.

Quand cette pièce est en placo, il existe entre son rebord extrême G' et Je pourtour du tube G une fente circulaire faisant

!• La longueur du tuyau était de im , sa largeur de 0<n02.

TUYAUX SONOttKS.

fonction de Jumière, et par laquelle l'air s'échappe pour venir frapper contre la lèvre A.

Le vent arrive dans le j30^te-^'enl par les trois tubes DF, D'F', D"F" (fig. 425), et la vis permet de faire momoir griirinellement la pièce cylindrique G' (fis?. 424) de manière à uiodilrer légèrement la forme de remboucliiire, et à lendre, parla même, facile la sortie du son (jue le luvau doit donner.

Le ttiyau AB, intèneurenient bien cvlin(lti(|iio , reçoit un piston mobile à frottement régulier, mais un peu dur, et dont la tii;e <•! ni exfjefement divisée en millimètres.

On ( ninmengait jxir disjKJser reml)ouchure de telle sorte cjue le tuyau, compléti^ment ou\ert, rendit nelf^Mnent le deuxième ou le troisième liarmonique, et Ton en déterminait la valeur. Puis on enfonçait graduellement le piston ; le son était modifié, mais bientôt on retrouvait une nouvelle position du piston pour laquelle il sortait de nouveau. Or, en ces circonstances, conformément k la théorie et contrairement à ce que Ton énonce souvent, la distance des deux positions consécutives dans lesquelles il fallait placer le piston pour reproduire le môme son s est toujours trouvée égale à la longueur d'onde qui caractérisait, à la température de Texpérience, le son rendu par le tuyau.

Loi du père MerMone. — Dès que les molécules gazeuses comprises dans le tuyau sonore ne sont plus, à toute époque de leur mouvement, animées de vitesses parallèles entre elles et à Taxe du tuyau, l'expérience cesse nécessairement de vérifier les résultats d*un calcul fondé sur l'hypothèse de ce parallélisme, et

Fîg. 425.

TUYAUX SONORIS.

if n'existe pas encore de théorie générale qui rende compte do phéooRiène acoustique produit dans cea nouvelles circonstances. On sait seulement, d'après les travaux du P. Hersenne que si des tuyaux sont géométriquement semblables, et embouchés comme à Tordinaire suivant une de leurs arêtes toute entière, les valeurs numériques de leurs harmoniques de même ordre sont réciproquement proportionnelles aux dimensions homologues de Ui masse gazeuse mise en vibration. M. Savart a vérifié ces résultats, et depuis son travail on trouve souvent dans les cdiectiens d'acoustique plusieurs groupes de tuyaut à l'aide dafiqueb on en rend s^isible l'exactitude'.

Fig. 426.

La figure 426 représente deux petits bourdons cubiques qui sont à l'octave l'un de l'autre; leurs dimensions homologues A'B', A B, sont dans le rapport de 1 à 2.

On répète encore l'expérience avec des tuyaux prismatiques Iriii II laines embouchés par toute une de leurs arêtes de base.

Recherches de M». Savart. — Ouand les tuvaux ne sont pas semblables, on ne connaît pas d'énoncé sinij)le qui permelle de déduire la valeur du son fondamental qu'ils doivent rendre, de la seule connaissance de leurs dimensions. Toutefois, M. Savari, qui s'est tant occupé de ces questions, a laissé sur ce point quelques données importantes.

D'après lui, quand il s'agit d'un tuyau prismatique embouche à la manière ordinaire, c'est-à-dire par tout un des côtés de la base, le nombre de vibrations né dépend pas de la dimension de cecèté; il dépend de l'étendue de Tautre coté et diminue quand elle augmente.

11 n*est pas besoin d'ajouter que le son monte quand la Ionguevr du tuvau diminue,, et d^ Jors on conçoit que l'embou- II. »

Dlgitizcd by G

74 TUYAUX S01«OA£S

chure restant la iiième, on |>eut tirer le iiKiiic son de tuyaux de dimensions très-différentes, les uns longs et plus étroilb, les autres profonds, mais très-su rbaisscs.

Enfin, dans le cas des tuyaux prismatiques à base carrée, M. Savai t a reconnu que, si le rapport de la longueur à la largeur est compris entre 6 et;, le ^un ctinscrve une valeur constante lui sque le produit de ces deux dimensions reste lui-même invariable.

M. Wertheiin et M. Masson sont revenus sur ces questions. Ils ont cherche des formules empiriques qui pussent permetlre de calculer à l'avance le son rendu par un tuyau ou vase de forme quelconque, lorsqu'on en assigne les dimensions ainsi que celles de l'embouchure. Mais la discussion comparée de leurs résultats, et de ceux qu'avait obtenus M. Savart dous entraînerait hors des limites dans lesquelles nous devons nous restreindre, lorsqu'il s'agit de points sur lesquels il n'existe pas encore de corps de doctrine généralement admis.

§ 4. — Vitesse de propagation du son dans les gaz et

dans les liquides.

L'air et l'eau sont les seuls milieux que l'on ait en niasse homogène assez considérable pour.qu*on puisse y étudier direo tement la propagation des. ondes sphériques. Pour les autres fluides il fout recourir à une méthode indirecte : c'est la théorie des tuyaux qui y conduit.

Si en effet la théorie et l'expérience s*accordent pour prouver que, quand on lait rendre dans l'air à un tuyau convenablement disposé l'un de ses harmoniques supérieurs, la distance de deux nœuds consécutifs est bien égale à la longueur d'onde du son produit, il en résulte que, pour avoir la vitesse de propagation du son dans un gaz quelconqius il doit suffire de faire parler, au milieu d'un réservoir plein de ce gaz, un tuyau semblable à ceux qui ont conduit aux résultats que nous venons de rappeler, et de chercher, à l'aide d'un piston mobile, la distance qui sépare deux nœuds consécutifs, lorsque l'on aura obtenu le troisième ou le quatrième harmonique.

Le produit de cette dislance par le nombre de vibrations du son produit sera la \ilesse cherchée.

Il est vrai que si le tuyau n'était pas assez long, ou s'il n'était pas embouché sur tout son pourtour, la distance de deux nœuds consécutifs lors de la production d'un haiiuonique quel-

TUYAUX. 80M»Rt8. 75

conque, ne itérait pas égale à la longueur d*onde du son obtenu. y.i îs alors» il résulte des travaux de M* Weriheim qu*en ajoutant à *a longueur L du tuyau une certaine quantité Z indépendante de la nature du gaz sur lequel on opère, on reproduit toujours la longueur d'onde du son fondamental. Dès lors pour avoir le rapport des vitesses du son dans deux gaz quelconques, il suffira de faire rendre le même harmonique à un même tuyau parlant successivement dans ces deux gaz, et de prendre le rd[)port des nombres de vibrations exécutées dans les deux cas.

M. Dulong a, le premier employé cette méthode, et il a obtenu les résultats suivants :

TABLEAU DES VITESSES bt SON DANS DiFFKftfiNTS iiXZ

A LA TEMPëBATURE ZÉRO.

NoDU Vitesses dM gfts. de prupaKatitm,

Oiygène 318» 17

Hydrogène fîS9. 50

Acide carboQÏqnp 6

Ow'Ip 4p rarboue 337. 4

Oxyde ii azote - S61. 9

Hjdiosène bicarboué 914» 00

Vftes»e du son dans les liquides* — M. Werthoim «près cuoir légitimé la nrielliode de M. Dulong, lui a donné une exrrii>inîi ronsidérable. 11 a démontré ifiie, pour un même tuyau, l influenco de reniboucliurc est la mémo , soit que le tuyau parle dans l'air, soit (ju'il parle dans mi liquide quelcon(|ue; elles recherches qui l'ont comluit à ce Uieoréme, lui ont fait connattre en même temps la vitesse avec laquelle le son se propage dans des colonnes rylindri(|ues de fluides quelconques.

Dans les expériences de Ai. Wertbeira les tuyaux étaient ouverts et emboucliés à la manière ordinaire ; comme ils étaient d'ailleurs formés de plusioui-s bouts s'ajustani à vis les uns sur les autres, on en pouvait faire varier la longueur.

On les inaiatenait complètement immergés dans le liquide sur lequel ou voulait opérer, et Ton prenait des soins extrêmes pour qu'aucune bulle d'air ne restât Gxée dans la lumière.

L'embouchure était mise en communication par un tube métallique avec une ponipe foulante munie d*un réservoir à air oomprimé; le jet de liquide qui s'en échappait venait toujours avec la même vitesse se biiser contre la lèvre supérieure de la bouche et iàisait parler 1 appareil.

TUTÀVX SONORES.

La réussi le complèlo dos oxpérionccs prcscnto do irrandos difficultés, parce que l'on est souvent exposé à ('onfondre avec les vrais sons de la colonnf^ liquide, des sortes de silUements qui paraissent dus à reinhoucliure seule. Mais toutes les fois qu'un doute était possible, M. Wertheim le faisait disparailre en forçant ]e tuyau à rendre successivement plusieurs des harmaniques du son fondamental, et alors foute ambiguïté se trouvait écartée»

Après avoir ainsi déterminé les valeurs N, N', N" des sons fondamentaux qui correspondaient à une série de tuyaux identiques de tous points à la longueur près, on cherchait la valeur de Z qui satisfaisait aux équations :

et lorsqu'on l'avait dét^^raiinée , une quelconque des équations

N(L + Z) = V ÏH'[L'^L} = \

donnait la valeur V de la vitesse de propagation du son dans une colonne cylindrique du liquide employé.

La détermination directe de la correction Z n'est possible que sur des liquides dont on peut? se procurer de grandes quantités, parce qu'elle suppose que Ton peut Êttre varier dans des limites étendues la longueur du iuyau, et que, par conséquent, oa opère dans de grands réservoirs.

Mais comme on Ta trouvée la même dans l'air, dans l'eau et dans tous les liquides qui se sont prêtés à une détermination direde, on a pu admettre qu*dle reste constante toutes les fois qu'on emploie le même tube et la même embouchure, et dès lors lui assigner constamment la même valeur dans toutes les expériences faites avec le même tuyau.

Dans le cas de Teau, la valeur de la vitesse Y doit être multi-

tipliée par |/^| pour reproduire celle que MM* Goliadon et

Sturm avaient trouvée pour la propagation dos ondos spliôriques daii< 1r lar do Genève. Mais cela n'est vu ani-uuo sorte oontradictoire. lin otï'et, de la discussion ('()mi)lèto du problème do la \)Vi)pagation du son dans los fluides, M. Worllieim a dôduit cpio cette dilToronco doit en etfeL exister, et avoir la valeur donnée par la comparaison des deux séries. d'expéricnccô que uouâ venons de citer.

VIBRATIONS DES V£IiGES. 77