CHAPITRE YllI

VIBRATIONS LOr^GlTlDLNALES DëS VtiilGES IUG1D£S.

$ t. — LOIS DES VIBRATIONS LONGITUDINALES DES VERGES.

Une verge vibre longitudinalement lorsque les oscillations

des molécules qui la composent se font suivant des droites parallèles à sa plus grande longueur. — Les sons qui correspondent aux vibrations dont il s'agit ici sont en général très-purs, mais CM même temps ils sont fort aigus, à moins que les vergo?^ n'aient (le très-grandes dimensions. Dans tous les cas l'ensemblo des propositions que nous allons exposer prouve que les lois dos vibralioiir> longitudinales des verges sont idcaliques à celles des tuvaux sonores, et cela n a rien de surpi enant, puisqu'à proprement parler le gaz qui \ibre dans un tuyau constitua une ver^^e de fluide aérifornie délimitée par des parois qui u oui d'autre eft'et (jue de la séparer de Tair extérieur.

Four faire vibrer longitudinalement une verge de bois ou de métal, on la frotte sans ellbrl dans le sens de sa longueur avec un morceau de drap saupoudré de colophane finfinent pulvérisée. Quant aux verges de verre, on emploie de préférence pour frottoir du drap humecté d'eau légèrement acidulée. Dans tous les cas, il faut apporter une attention spéciale à la manière dont 00 soutient la verge/parce qu'avec la position des points que l'on ûxe cliangeDt les conditions du mouvement.

VIBEATiONS LONGITUDINALES

Vergw libM «ut àtm bowto. <— Quand la verge est libre aux deux bouts, elle est assimilable à un tuyau ouvert. Pour le faire voir, il nous suffira de prouver que toutes les conséquences de cette assertion sont rigoureusement vérifiées par l'expérience. La première sur laquelle nous insisterons, c'est que les nombres de vibrations des sons fondamentaux que Pon peut tirer d'une série de verges de même section et de même nature, mais de ton* gueurs différentes, sont inversement proportionnels à ces longueurs. — L'expérience ne présente aucune difficulté; car on obtient le son fondamental en tenant d'une main la verge par son milieu, et la frottant de l'autre vers l'une de ses extrémités.

Pour les verges commo pour les tuyaux siiflisammont étroits, les dimoiisions trans\ersaips n'influent pas sur le son produit. La forme de la section est égalemoni indiiierente; mais des verges de môme longueur et de naUire différente, d'acier, de laiton, de bois, etc., donnent des sons très-différents les uns des autres.

Enfin, les hiirmomtiuos qu'on p-^ut tirer d'une .verge libre aux deux bouts forment une série toute semi)lal)1e à celle que fournisjient les tuyaux ouverts, l^our obtenir l'un de ces harmonicpies, il faut fixer la verge en un ou plusieurs des points où la théorie de Bernouilli, appliquée à cette veri^(s indiipierait l'existence d'un nœud. Par exemple, au qu irt de la veri: ' si l'on veut obtenir l'octave du son fondamental, au sixième à û s'agit d'avoir le sou trois, et ainsi (ie suite.

Verge» fixées à un bout. — Les veri: 'S fixées à un bout vibrent (diiime des tuyaux bourhés; et .de même que l'on peut faire une i:amme avec sept bourdons dont les longueurs ont entre elles les rapports eonvenables, de m^me aussi, lorsqu'on implant:^ dans un même socle de bois sept ba.^uettes de sapin de longueurs rijzoureusement ajustées, on peut en tirer les sept notes de la gamme naturelle. Pour terminer la démonstration do la proposition énoncée au commencement du chapitre, il reste à établir, par des expériences directes, l'existence des ventres et des nœuds de vibration dans les verges vibrantes.

VantrM et nœuds de vibration. — On démontre d'ordinaire Fexistence d'un ventre de vibration à l'une des extrémités d'une verge fixée en son milieu. — Pour cela, comme nous l'avons déjà indiqué page 2, on approche de l'extrémité que Ton con-. sidère une bille dHvoire su^^pendue à un fil et formant pendule. Les déplacements moléculaires sont assez considérables pour que les chocs qui en résultent contre la bille la projettent à une grande hauteur.

Pour que revpérience soit tout b fait concluante, il est bon de

DES V£RG£S,

Tf

ne pes tenir la Terge dans un élan, nais de la 6xer aar no support solide avec un mastic trèe^sasaant. Alore, en effet, le moindre déplacement du point 6xé brieerait le mastic, et comme ce phé* nomène ne se présente pas, on estbien sûr qne les chocs ne proviennent pas d*ttn transport général de la barre.

Le déplacement absolu de la tranche terminale peot se mesurerai! sphéromètre ; pour y arriver, on établit un appareil de cette espèce de manière que sa vis soit dans le prolongement de Taxe de la barre* et avant que la vibration ne commence, on approche la pointeau contact de l'eiclrémité, et Ton note la division de la tète qui correspond au repèm; on reculo la vis, puis on produit les vibrations, et tandis que lo mouvement persiste, on approche lentement la pointe jusqu'à ce que, dans ses excursions extrêmes, la baire vienne la choqnor. Fnfin . on compare la position de la tête de la vis à celle qu'on avait notée d'abord, ol l'on a évidemment tout ce qui est nécessaire pour obtenir rallongement cherché. M. Savartest raiiteur de l'expérience dont nous venons de donner la descriptrou. il a déduit de ses detenniiuitions que l'allongement, ainsi produit par des vibrations excitées sans aucun effort, égale souvent coliii que l'on ne produirait sur les mêmes biirros que par des tractions supérieures à un millier d<* kilo£rrammos.

Expérience de M, Bîot. — Quant à l'existence des nœuds, elle .1 ! mise en évidence par une expérience très-remarquable de M. Biot.

Lors(]u un rayon de lumière, polarisé par son pnssap:eà travers un prisme de Nichol K tombe sur un spath, il lniurqucen «rénéral, à moins toutefois que la section prîriLipnli^ du spath ne soit parallèle ou perpendiculaire à celle du pri^^nu^ ; dans ce ra«, l'une des images est éteinte. 1/intorposition d'une lame de verre nniiniiro no la fait point reparaître; mais les phénomènes chani^enl lorsque l'on vient à exercer sur la lame de verre une compression un peu énoririciue et inégalement distribuée sur les différents points de sa surface; alors le second rayon devient visible de nouveau. Or, s'il est vrai qu'aux points où les nœuds se développent, une lame qui vibre éprouve dans sa densité un changement notable, et tel que pourrait le produire une traction ou une compression puissante exercée dans le sens de sa longueur, un rayon polarisé qui la traversera en ces points devra être modifié comme il l'est par son passage à travers un verre comprimé. C'est pré* citaient ce qui arrive. .

1. Foiur II dMeription 4o ptiime 4# Nfebal, voir plni loin w Mti« l'opUqnt.

Pour faire commodéraent rflv^érieiice en projection, on peut employer Indistiactemetit les rayons solaires ou ceux de ta lampe électrique. Avec cette derftière source lumineuse, la disposition suivante donne de bons résultats : l'ouverture de la lanterne reçoit un Nichol dont la section principale sera verticale; avec une Jentille de convergence, on projette la lumière sur un prisme de spath ordinaire. On obtient ainsi sur un tableau blanc âexkx images lumineuses; mais en croisant les sections des deux appa;* reils biréfringents, on fait disparaître l'une de ces images. On interpose alors sur le trajet du ra} ')n. et un peu avant le s{>alh analyseur, uno verge de verre tenue obliquement entre les mâchoires d'un étau, et l'on s'arrange de façon que le rayon la tra-^ verse près du nœud. Alors chaque fois (jue Ton fait vibrer la verge, on voit la seconde image reparaître; et de plus quand le phénomène acquiert tout son développement, les deux images se colorent do nuances complémentaires.

îl semblerait, au [)remier abord, très-naturel et très-commode ' de recourir à l'emplui du sable pour mettre en évidence l'existence des nœuds correspondants aux vibrations longitudinales, et même pour en iixer la position. Fn («fTet, lorsqu'on projette un peu de sable sur une verge plate animée de ce genre de mouvement, on le voit glisser à sa surface, parallèlement à l'axe de la verge, et se rassembler en lignes très-nettes, mais ces lignes no sont pas h uno distance égale à la longueur de l'onde qui répond dans la verge au son longitudinal produit, de plus elles ne se répondent pas sur les deux faces de la verge. — Loin de là, si, après avoir inarqué sur l'une de ces faces la position qu'elles occupent, on retourne la verge et qu'en la soutenant au même point on en tire le même son, on voit sur la seconde face, actuellement supérieure, les amas de sable se former juste à égale distance des positions qu'ils occupaient dans la première expérience. Nous reviendrons, à la fin du chapitre suivant, sur l'ex* plication de ces phénomènes.

§ ^. — THéORIE DU MOUVEM£NT LONGITUDINAL DES VBUGISS.

L'équation du mouvement longitudinal d'une verge homogène, droite, cylindrique ou prismatique, s'obtient sans difficulté.

Soit la section de cette verge, et admettons qu'au même instant toutes les molécules d'une même tranche soient animées de vitesses égales et parallèles à l'axe de la barre.

Soit toujours, au bout du temps (, a; 4- u l'abscisse d'une molécule dont l'abscisse primitive était x.

IJ s'agit de déterminer u en ftwction de et de l. Soit M la section primitive de la barre; p le poids spécifique de la matière qui la Ibime.

du

^ est au bout du temps ( la vitesse de la aïoleculo déOnie par

Tabscisse initiale x; et di raccroissement que subit cette

vitesse pendu nt le temps dt.

L'élément dont la longueur primitive était dx et le poids p dx reçoit en tous ses points cet accroissement de vitesse, et cela, sou? l'influence d'une force qui provient de la ditlércnce des Icumuiis qui sont exeicces, au bout du temps sur les (ieu.v lac^s de cet

dX

éléineat. Soit m — dr cette force: on aura

dx y at* dx g dC

la diflërentieile — c/x peut s*exprimer en ioaciioii de la dérivée dx

de tt prise par rapport à En effet, Félément de longueur primitive dx est devenu, peu-

du / du \

oaulle mouvement, ^^4-^<^»ou(ia;ll+^l,

Sa tension est proportionnelle à la fraetion qu'il faut ajouter à

Tuaité pour avoir le rapport de la longueur actuelle k la longueur primitive. Cette fraction est Àiiisi, en désignant par Q

une constante, ou a :

et par conséquent

d'où l'on déduit

ou enûn

si Ton pose

^ ^ du T«o —

dx

dT ^ ^ d^u , dx d^

d*u ^ Qy d* H

9t VifiKATiONS TRANSVERSALES

Cette équatioD efit identique à celle que nous avons trouvée pour point de départ dans la théorie de la propagation du son dans les

tuyaux cylindriques, et par conséquent on pourrait répéter ici tout ce qui a été dit au chapitre précédent. Nous ne nous arrêterons pas à ces redites inutiles, mais nous ferons remarquer que la quantité Q est précisément ce qu'on appelle le coefficient d'élasticité de la barre; car si dans l'équation T = Q ^ on sup-

|H>>.iit que l'alloiigenient du tlesînt égal à rfr. c'est-à-dire à TéléiiKMït lui-m(^mo, on aurait T = O; O est donc la tension qui doublerait la longueur- de la ver^e, c'est le coefficient d'élasticité de la matière qui la forme, (voir t. I, page 5(53).

^- est la densité de la barre.

a, d'après ce que nous avons vu, repiésenio, la vitesse de propagation du mouvement dans cette barre. Ainsi l'on se trouve ramené à l'équation

que Ton cite ordinairement comme donnant la^ vitesse de propagation d'un mouvement vibratoire dans un milieu élastique» ei dans laquelle eetd représentent respectivement Télasticité et la densité du milieu qui transmet le mouvement.

Pour obtenir commodément la vitesse de propagation des sons dans une barre, sans passer par la détermination du coefficient d'élasticité, on raisonnerait comme nous Tavons déjà fait en traitant de la propagation du son dans des fluides quelconques :

Lorsqu'une verge ébranlée longitudinalement rend le son fondamental qui lui est propre, la longueur de la verge est égale à la longueur d*onde de ce son. Elle est donc égale au quotient que Ton obtient en divisant par le nombre de vibrations du son, Texpression numérique de la vitesse avec laquelle le mouvement longitudinal se propage dans une colonne cylindrique du milieu ' dont la verge est faite. En opérant ainsi, Chladni avait dressé le tableau suivant :

VITESSIiS DhS SONS DANS LES VEHGES SOUDES.

Noms d«s Mibctaneos. TlteSMs à z^.

Sapin 5994».