DE M. ÉD, 0E8A1NS

La connaissance de l'expression complète de l'action d*UD élément de courant sur le pôle d'un aimant permet de résoudre toutes les questions relatives à la théorie des appareils rfaéomé^ triques. Dans un travail publié en 4837, U. Éd. Desains traita les points fondamentaux de cette importante théorie : il Bt voir que quand on a mesuré les déviations imprimées aux aiguilles de deux instruments différents, par des courants différents, môme dans des lieux dillorenis, un [teut calculer les rapports des intensités de ces cou ruais, pourvu que 1 un connaisse celui des inten^iiBi du uuii^riétisine lerresue ddiis ces locahLes, et les dimensions des instruaients. Il vérifia expérimentalement ce résultat en faisant agir un courant horizonUl irès-long, situé dans le méridien magnétique, sur une pelite aiguille liorizonlale; ensuite il calcula la relation qui existe dans un rliéomèho k une seule aiguille et a châssis rectangulaire entre la déviation de celle-ci et l'intensité du courant. Depuis, M. do La Provostityc a étendu cette théorie au cas du rhéometre à deux aiguilles [Annales j t. LIV). Nous reproduirons dans ce paragraphe la première partie du travail de M. Éd. Desains.

Soit PAP' la position d'équilibre (l'uiiu Liigmlle inubilu autuur d'un axe vertical AO passant par son milieu, dev iee d un cingle * SOUS l'inQuence d'un courant dont anib^aU est un élément.

L action de cet élément sur le pôle P » pour mesure ^ — ,

en appelant r la dislancs Pm et « l'angle Viob; » et f sont dm

THÉORIE DES RHÉOMÈTRES. 819

facteurs proportionnels l'un à l'intensité du courant, l'autre à celle du magnétisme de l'aiguille. Celte force passe en wt, est

perpendiculaire au plan Pa6, et peut aussi s'écrire '^''^ 3 - , en

appelant du la surface Pa6. Pour avoir son moment autour de l'axe vertical AO, on la décompose en trois composantes paral-

Fig. 840.

leles l'une à ^VO, l'autre à AP, la troisième à une perpendiculaire aux deux premiers menée par A : cette troisième ligne n'est pas tracée sur la figure. On prend ces trois lignes pour axe des des x, des y. Le moment de la composante parallèle aux z sera nul ; il suffit de chercher les moments des deux autres par rapport à cet axe. La composante parallèle à AP s'obtient

en multipliant par \q cosinus de l'angle quePa^ fait avec

le plan des C'est donc -^da\ du' étant la projection de du

sur le plan des zy. Or, dans le cas général où amb n*est pas horizontal comme sur la figure, ^du'— ydz — zdy^ en appelant jr, y^ z, X dœ, y dy^ z + dz^ les coordonnées des points a et 6, et supposant dx^ dy^ dz positifs simultanément. La composante est donc

et son moment

^ . I . Il I iMu" . ^

De même la coinpotanle parallèle aux ^sera — -^5 — , enappelant

8S0 THEORIE DES RHBOMàTRBE,

tlu" ia projection do du sur le pian des zx^ laquelle est {X'^k)dz--::dx^ j^^^^ j.^.^ AP -=K. Son moment est

— Ajd- — zUx],

La soin me du ces momeniâ, qui âoul de même 6igtie dans le cas actuel, est:

Pour a\oir in >oaiUie des inoiiienU dv6 actiuus exercées par \ei ditlérent» éléments du courant sur le pôle P, il sutlira d'étendre rinlégrale de celte expression au ciicuit tout eiilier. Or, ce circuit est toujours fermé par la pile, et celle condition d'un circuit ferme jxM inet, comme Ampère l a montre, de siimpliûer rintê- "ralc. En cO'etf ou a ideuliquemcul :

k(£ — k}dz — kzdx

Mais r-= — ky + /y- + d où r- — -=î= (x- — A-) + f et rdr = — + ifdy + -t<ii^; par suite la dernière inlé^ grale peut s'écrire:

Si ;^| et et sont les valeurs de z et i* aux limites, on

aura, en général, — ~ pour i intégrale définie. Quand lé

circuit est fermé, l'originé sé confond avec rextrémité; alors ^1 =^ ^ ' i = ' ^( P^<* stiîte rintégrale précédente est nulle* Donc

t'I la somme des moments est

k{x — kfdz kidx

3C — ilt)rfg — i^rfj

Il faudra chercher de môme le moment total de» action^ liu courant sur le second pôle, et égaler la somme de ces mumeuls à celui de l'action terrestre , lequel peut être exprimé par 'ijzk sin a, y représeiitant Faction hori/ontalo- de la terre sur le pôle d'une aiguille pour laquelle f el k àeraienl chacun égaux à l'unité.

On a appliqué ce calcul au rhéomèlre à châssis rectangulaire, en faisant dz^o pour les parties horizontales et ilx = o pour les verticale?. On l'a applique aussi au cas d'un courant rectiligne horizontal, très-long, situé dans le méridien magnétique et dont le milieu était la projection o du milieu de Taiguille. l*ar raison de symétrie, le moment total des actions exercées sur Tuii des pôles ég alait le moment relatif à l'autre, en sorte que i'équa tion d'équilibre était :

k{x — k)dz — kzdx . . , .

= ij^im^.

On voit que f dispjrait, el ([u'ainsi la déviation ne dépend pas de rintensilé du magnétisme de raiguille. L'intégrale se compose de deux parties; l'une» relative au

courant horizontal, est — j --pp» à cause de c/i^ = o ; l auti e,

relative aux portions qui ferment le circuit, peut être négligée, parce que, pour ces parties, r était partout très-grand. En effet,

si Ton considère / ^^"^ "^i^^ ^ qua cette sommevSùp^

posée positive, est plus petite d'abord que si l'on y suppritnait tous les terme» négatifs; ensuite^ que si l'on y remplaçait la fraction i^"^^ par l'unité, et en6n que si Ton mettait, dans lexk dz

pression , à la place de S\ )a plus petite H des valeurs

de relative aux portions lrès*éloignérs par lesquelles le cir-

cuit est formé. L'intégrale est donc plus petite que

étendue seulement aux valeurs positives de dz. Si les valeurs

extrêmes de z sont z* el z\ cetle dernière est -j^ X — î{~»

c" — - est plus petit (juc li. puisque sép ireinent c" el z* sont plus petits que U. Donc cetle expression peut être négligée tl. 46

Digrtizeij Ly <jOOgle

8H TaÉORl£ BftS RUBOMÈTABS.

quand R est assez grand. On verrait qu'il en est de même — 5f— , pour ces très-grande^ vdleurs de Par conséquent, pour résoudre la question du courant horizontal trèslong, il suttira d intégrer — / —g- dans toute l'élendue de

la portion horizontale du circuit; z est alors la constante AU =^ de lu figure 840, On pose Oni = j»* ; par suite :

f5 = PB^^H- Bw^s Ob'+ om'+ Ob'- SOm.OB vos + + *î- Isk cvs*

c/x é$ fit» «

A C05 X étant constante, eo$ « = o, et l'on peut écrire :

/dx ^ i dis — k vos «\

La valeur de l'intégrale indétinie est :

Si l'on y remplace successivement s par -|> et «j, 5, étant très-grand, et que Ton prenne la diOerence, en négligeant k êin % et k cos « devant s, on a ; '

^3 4r A;* Sin- % '

pur suite le moment total clierclié devient:

11 faut le doubler pour tenir comp:c des actions sm le second pôle, et l'équation d'équilibre devient :

FTFw;"^**"" ou ^-^'(i +-J,„v.).

En opérant avec la môme aiguille dans le môme lieu, à la même distance, mais avec un courant d'inlensilé différente, on aura ;

H partaDl :

qui est la relation cherchée entre les intensités et les déviations.

Dans nn Heu différent avec une aiguille et une distance diverses, on aura :

et partant :

Or ii est connu;' c'est le rapport des carrés des nombres

d'oscillations faites par une même aiguille dans le même temps,

(îaa> deux localités; tout le reste se mesure. On a donc -r , ce

qui résout le problème de la comparaison de deux courants mesurés avec des instruments différents. Pour vérifier cette dernière conséquence « on a opéré dans un même lieu avec deux courants égaux > maïs avec des aiguilles et des distances différentes, et par plusieurs expériences différentes Von a trouvé

§ 5. BOUSSOLES DE M. WEBRR.

Magnétométre. — Le calcul complet de la boussole des tangentes peut se faire en suivant une marche analogue à celle que

MAGNÉTOMÈTRE.

nous vonons d'indiquer. Comme il ne laisse pas de présenter quelques lon.^ueiirs, nous renvoyons sur ce sujet à des communications insérées aux Comptes rendus de l'Acadéffiie des Hciences, t. XXXV et XXXVI, par M. de La Provosiaye et par M, Bravais. Ici, notis nous bornerons à une remarque qui s'applique spécialement au cas des rliéomètresdont le cadre est large, et dans lesquels les spires du fil conducteur ne sont pas séparées en deux faisceaux distincts par une fente à travers laquelle passe le fil de suspension.

Supposons, pour fixer les idées, la largeur du cadre indéfinie, et par conséquent aussi supposons indéfini le nombre de fils parallèles entre eux qui s'enroulent sur lui.

Quand l'aiguille nh (fig. 841) sera déviée d'un angle a de sa po-

Fig. SU.

sition d'équilibre, les actions exercées par le courant entier sur chaque pôle se réduiront à une force unique appliquée à ce pôle et perpendiculaire au plan mn de la spire qui le contient.

En effet, la chose est d'abord évidente pour la spire que nous venons de désigner; prenons maintenant celles qui la touchent à droite et à gauche, et prenons sur ces deux spires deux éléments égaux et symétriques par rapport au plan mn de la première, la résultanle de leurs actions sur le pôle considéré sera encore, par une raison de symétrie, perpendiculaire au plan mn^ et ainsi de suite.

Si donc, le cadre estasse/, large pour que dans toutes les positions de l'aiguille les spires dont l'action peut se faire sentir à l'aiguille soient en nombre égal à droite et a gauche de mn^ l'action du courant sur l'aiguille se réduira toujours à un couple de forces appliquées en a et ^, constantes en grandeurs et perpendiculaires aux plans des spires; alors, si la direction d«»

ÉLECTROnYNAMOMfcTUE,

celles^î e.^t parallèle au méridien, Tappareil sera rigoureusement une boussole des tdngente>.

Ces conditions sont sensiblement réalisées dans le magnétomèlre de M. Weber. Le cadre est très-large et l'on se borne aux trèspetites déviations, seulement on les observe avec une grande précision en employant les méthodes indiquées 1. 1, à roccasion des expériences de Gauss sur le magnétisme.

Quant au mode de suspension de l'aiguille, il se rapproche beaucoup de celui qui est indiqué figure 842 à Toccasion de réiectrodynamomètre. Le fil de suspension soutient un cadre de cuivre dont la traverse inférieure passe dans le cylindre aplati sur lequel s'enroulent les fils. L'aiguille est soutenue sur ta traverse inférieure de ce cadre, et contre un des. côtés latéraux de celui-ci est fixé le miroir qui sert aux observations de la déviation.

Électrodynamomètre. — Un courant de très-courtc durée, en traversant le fil d'une boussole, n'impt une à l'aiguille qu'une impulsion ; réqiiiiibre se rétablit après quelques oscillations. Quelle que soit l'inLensiLé du courant, quelle que soit la déviation fixe qu'il donnerait à l'aiguille s'il durait pendant un temps un [nm considérable, l'impulsion serait infiniment petite pi la durée du courant l'était elle-même; et, on général, l'effet produit total dépend de deux éléments différents : le lenijis et l'énerei*' de rarlion. Pour établir l'équation qui exprime cette depenciance, supposons, rommo cela arrive en effet, que l'aicuille ^oif primitivement vn équilibre dans le plan du méridien magnétique, et admettons en outre que la durée ô du courant soit assez courte pour que pendant celte durée l'aiguille ne se soit pas écartée sensiblement du méridien; admettons enfin que l'angle dMmpulsion «* soit assez petit pour qu'on puisse le confondre avec son sinus ou sa tangente. Si, comme nous le supposons, l'intensité du courant, sa position et celle de l'aiguille sont constantes pendant le temps 0, la vitesse v imprimée au pôle de cette dernière, suivant la tangente au cercle qu'il peut décrire, sera proportionnelle à 0 et donnée par l'équation v^agH; g étant la valeur que posséderait v si l'on avait a « 4 , ^ est proportionnelle à l'intensité du courant définie comme nous Favons toujours fait (voir pages 730 etsuiv.)«

Par suite de cette communication initiale de vitesse, Taiguille quitte sa position d'équilibre comme le ferait un pendule choqué dans une direction horizontale. Lorsqu'elle s*en est écartée d'un angle «, elle est sollicitée à y revenir par l'action du magnétisme terrestre, laquelle est proportionnelle à ». Soit / la demî-distance polaire de Taiguille, et supposons que le milieu

Digrtizeij Ly <jOOgIe

|tf ÉLECTnODTNAIIOMÊTRE.

de Taxe polaire soit au point mémo de suspension. La der ivro de la viiosso avec laquelle le pôle se meut sur sa trajectoire

est "j^i «II® âoit être égale, au signe près, à la force accélératrice /"w, parce que celle dernière e^t opposée de direction à ceiie de la vitesse acquise; ainsi 1 équation du mouvement est

On on conclut que u doit ctrc donné par une relation de la forme

A et B étant des constantes à déterminer. Or pour 0, m doit être nul, d'où Ton conclut déjà que B est égal à zéro. De plu* au moment ou 6> = o, la vitesse doit être égale k ^6 ou à puisque nous avons posé r/Q — v.

Or, en général cette vitesse a pour expression

donc pour ^ » o elle se réduit à A \ / y , et Ton a

£t enûn en substituant dans la valeur, générale de a», on a

L'écart ma.\imum a a iieu quand la vitesse -jj devient nulle. L'équation qui le détermine est donc

Dig'itizeij Ly <jOOgIi

KLECTHODYMAMOMÈTAE.

Substituons celte valeur de t dansTéquation (^) et nous en déduirons pour .valeur de « :

Ainsi, quand on fait agir sur le mémo appareil des courants instantanés différents, les impulsions produites a et a dépendent à la fois et des intensités g et g' de ces courants et de leurs durées ^1 etô', tellement qu'elles pourraient être les mêmes, quoique les intensités fussent très-différentes, pourvu que la durée fût plus longue pour le courant le plus faible, et réciproquement.

Kg. 842.

M. Weber a disposé un appareil qui permet de trouver une

seconde relation entre les quotients ~ et et par suite de les déterminer tous les deux.

ÉLKCTftODTNAMOMi.TRC

Le nôQvel appareil de M. Weber est représenlé figure 842. Il se rapproche beaucoup dans la forme générale de celui que nous avons décrit plus haut, mais il en diffère en deux points easeo* tiels : 4* Taiguille aimantée est remplacée par un solénoïde A ou plutôt une bobine électro^ynamique qui se trouve traversée par le courant même qui circule dans les fils enroulés sur le cadre; if* cette bobine est suspendue à un fil de torsion ou plutôt à deux fils d'argent hfy ig voisins formant une suspension bifilaire, satisfaisant toujours à la condition que pour les petits angles la force qui tend à ramener l'appareil à sa position d'équilibre soit propor» tionnelle à l'écart.

Ici l'action qui s'exerce entre un élément de la bobine fixo i l un élément de la bobine mobile est proportionnelle au carré i- de l'intensité du courant qui les travorso tous deux. Il en est donc de même de la vitesse initiale w imprimée à la bobine en un temps 6 assez court pour que pendant sa durée / puisse être ro- «^ardé comme invariable, ainsi que ia position du solénoïrie. Lorsque, avec cette vitesse initiale, le solénoïde quitte sa position première, ce n'est plus l'action do la terre qui tend à Vv ramenât puisque le courant n'y circule plus; rCsi niors la torsion de^ fils de suspension qui agit commo force retardatrice du mouvement; en ce cas l'équation se pose et se résout absolument comme dans le cas précédemment rtu<lie, et l'angle maximum fi est donné par la relation p — f/'hk. Le courant d'intensité ry et d<^ durée e' donnerait une impulsion f^' liée aux valeui-s correspondantes g' et 6' par la relation ^' ssg'^ii h, et l'on aurait

Ces deux courants, dans le premier appareil, donnaient des écarts « et a' satisfaisant à la relation

On en déduit,

étant ainsi connu , l'équation ^ = fait connaître L

y ^ a, gii 0

AIMANTATION PAR KEf5 COURANTS. W