DES VERGES. S

Noms des snbsUncM. TIlMM I who.

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Étain 2497 •

Enfin, il faut so rappeler i|U(\ tl'iiprès M. \V(M"Ili('ini,(l;ms un milieu solide indéfini el non crisUillisé, les ondes splin ujues ont une \ilesse de propagation supérieure à celle delà transmission du mouvemenl sonore dans les verges cylindriques ou [)rismatiques.

Le rapport de ces vitesses inégales est celui de ^ 3 à

CilÂPiTBË IX

M BR VriONS TRANSV ERSALES.

§ 1. — LOIS DES VIBRATIONS TRANSVKRSAI.liS DES VERGES.

Un des plus anciens instruments dans lesquels on nit utilisé les vihrations transversales des verges est celui que l'on désigne souvent du nom de claque-bois, et que Mersenne a|>pelle Ligneum psalterinm à la proposition xvii du quatrième livre des inalrumenls. Ceta|>pareil ABCDffig. 427) paraît remonter à une très-haute anti(]uité.

Il est ordinairement formé de douze liires de hois soutenues par unedoucorde en des points qui se trouvent environ au cinquième et aux cinq sixièmes de sa longueur. On le

tient par le point de jonction des

deux cordons E, et pour le faire

parler on frappe les tiges en leur

milieu avec une sorte de marteau

suffisamment dur [ fig. 427).

Dans le claque-bois, les verges

sonores sont libres à leurs deux

extrémités. Dans d'autres instruments, dont elles constituent encore

te partie essentielle, elles sont fixées à un bout, et, pour les

VIBRATIONS TRANSYËaSALËS

mettre en vibiation, on les infléchit légèrement à leur autre extrémité. G*est ce qui arrive, par exemple, dans les anches (voir page 4SI) et aussi dans les hoUêt à munqu$.

Au reste, quelle que soit la manière dont une verge soit soutenue, il est toujours facile de Tébranler transversalement à Taide d*un archet ordinaire ou d'un {irchet de contre-basse. Si, comme il arrive souvent , les verges sur lesquelles on opéré sont aplaties en forme de règles, la direction dn frottement doit être perpendiculaire h. Tune de leurs faces, et dans tous les cas possibles elle doit être constamment parallèle à leur section droite.

En employant ce mode d'ébranlement, et en faisant varier convenablement soit la position des points par lesquels on touche la verge, soit la position de ceux que l'archet attaque directement, on arrive nisément à obtenir des séries de sons très-dillérents les uns des autres, et qui rappellent les séries d'harmoniques des tuyaux, sans toutefois leur être identiques.

Le développement successif de ces différents sons indique que dans les mouvements ipii répondent aux harmoniques supérieurs la verge se divise spontanément en parties de plus en plus nombreuses et qui vibrent à l'unisson. En olîet, pour constater la réalité de cette subdivision, il sutïït de jeter du siible sur la surface supérieure de la verge. On voit alors se dessiner de véritables lignes nodalos, que Ton peut toucher sans altérer le son; elles so correspondent sur les ([uatre faces, et, par conséquent, elles indiquent rexistence de plans nodaux qui sont perpendiculaires à Taxe, comme les lignes suivant lesqueUes ils coupent les faces de la verge.

Travaux d'Euier. — Il est évident que, pour se former une idée exacte et complète de tous les mouvements transversaux que peut prendre une verge, il sutlirait de déterminer, pour chacun des harmoniques possinles, et la durée des vibrations qui le produisent, et la disposition des lijîties nodales qui raccompagnent.

Lois de succession des harmoniques. — C est, en etfet, SOUS

ce double point de vue qu'Euler a envisagé la question des vibrations des \ erges. Les recherches qu'il a publiées sur cette matière l'ont conduit à des équations générales à l'aide desquelles on peut, quel que soit le mode de suspension de la verge, déterminer à la fois et la loi suivant laquelle so succèdent les harmoniques possibles, et la loi suivant laquelle se distribuent les lignes nodales de parC et d'autre desquelles s'accomplissent los mouvements moléculaires.

Les équations dont nous parlons une fois posées, Euler s'était surtout attaché à en déduire la loi de suoeessidn des harmoniques

D£S v&aG&&

dans les diffi^Botes hypothèses que Von peut &ire sur les condi* tioos auxquelles les extrémités de la barre sont assujetties pendant le mouvemeot.

Ces hypothèses sont les suivantes :

Les extrémités peuvent être complètement libres. — Les deux extrémités peuvent être fixées normalement dans des obstacles inébranlables; et alors, non-seulement elles restent imm()i)iles pendant le mouvement, mais, de |)lus, lu courbun» de la l>arre en ces points est toujours forcément tangente à la normale aux obstacles.

Les deux extrémités sont seulement appuyées contre des obstacles inébranlables. — Alors elles sont immobiles eomme eux; mais leurs flexions ne sont point gênées, et leurs courbures extrêmes peuvent couper sous un angle quelconque les normales

aux obstacles.

Enfin, il peut se faire (jue l'une des extrémités se trouvant assujettie à Tune des conditions que nous venons de définir, la seconde soit assujettie à une autre de ees trois mêmes conditions.

En tout, six cas distincts que nous grouperons de la manière suivante :

r Les deux extrémités de la lame vibrante soat appuyées contre des obstacles fixes; 2' Les deux extrémités sont libres;

3" Les deux exlrémités sont iUées (iaus des oi)stades immobiles;

4» Une des extrémités est fixée, l'autre est libre; o" Une des extrémités est libre, l'autre appuyée ; 6^* Une des extrémités est fixée, l'autre appuyée. Dans le premier cas, les nombres de vibrations d^ haroioniques croisseot comme les carrés des nombres naturels

it 3,..» — I.

Dans les trois suivants, les valeurs numériques des harmoniques sont proporlionnclics aux carrés des nombres impairs

3, 5, 7..,. în — 1.

Dans les deux derniers cas, ces valeuis sont proportionnelles aux carrés des nombres

s, », 13, 17^ * tl.... 411 -* 3.

• représente ici le nombre des nœuds correspondant h l'haie

VIBRATIOlfS TRANSVERSALES

monique quo l'on con^ifI<^re; sculomont, il est ontenrlu que l'on compte comme nœud chaque extrémité âxe ou appuyée.

Ces lois de succession des harmoniques sont trèSHSimplis ; il est bien vrai que, si Ton voulait énoncer rigoureusement le.'^ résultats de lanalyse, il faudrait dire que les nombres des vibrations qu'il s'agit de comparer croissent proportionnellement, non pas à

mais bien à

^1» ^8 ^^^^^ des quantités très-petiies et variables avec le rang de l'harmonique. Mais ces quantités sont si faibles dès que n dépasse % ou 3, que leur influence sur la loi de succession est tout à fait insensible.

Seulement, dans aucune série elle n*e8t complètement négligeable quand il s*agit du premier harmonique et peut-être encore. du second; aussi, Texpérience montre-t-elle que ces deux harmoniques et surtout le premier s'écartent un peu des lois plus simples auxquelles tous les autres satisfont. En cela, comme en tous les autres points, les observations de Ghiadni et de Savart ont confirmé les indications de la théorie.

Il est à remarquer aussi que dans le cas n* 4 les sons pour lesquels il n'y a d*autre nœud que celui de l'extrémité fixe ne rentrent pas dans la série harmonique. Le premier terme que ron doit considérer est celui pour lequel n » S; c'est là ce que ta théorie indique.

BedMrdMt àm M. Lim^oot. — Dans un seul cas seulement, celui où les deux extrémités de la barre sont appuyées, Euler avait cherché la position des nœuds qui répondent aux divers harmoniques. Il avait aisément reconnu que la verge se. subdivise toujours on parties égales, et dont, par conséquent, la longueur était égalo au quotient de celle do la barre par n — i, n étant le nombi e des nœuds.

Dans les cinq autres hypothèses possibles, la sohilion tle Téqualion qui donne les nœuds présente plus de (lillicultés, m.iis elle C4)nduit toujours à des résultats que l'expérience vérifie avec une i;rand(» précision. Deux séries de reclierelies, indépendantes l'un»» de l'autre, ont été publiées sur ce point par M. Strehike en Alleniaizne et par M. Lissajous en France. Nous reproduisons ici UFX' partie des résultats obtenus par ce dernier pliysicien.

Valeurt des interncnidi. — Dès Tinslant qu'il s'agit d'un har-