I. ■ — Définition générale
179. Considérons deux ponctuelles projeclives superposées, n'ayant pas tous leurs éléments unis, et telles que, si un point A, pris comme élément de l'une, correspond à un point A, de l'autre, le point A,, considéré comme élément de la première, corresponde
(') Plusieurs cas particuliers de la théorie de l'involution étaient déjà connus dey géomètres grecs. Quarante lemraes environ du livre VII des Mathematica; collectiones) de. Pappes sont relatifs au Traité D e. determinata sectione d'ApOLLONius, et rentrent au/ jourd'hui dans les nouvelles doctrines de la Géométrie. Ce sont des relations entre les segments laits sur une droite par des systèmes de points. On n'aperçoit pas, au premier abord, la vraie signification de ces propositions, ni les rapports qui peuvent les rattacher à une même question ; mais on reconnaît, par un plus ample examen, qu'elles sont toutes relatives à la théorie de l'involution de six points, créée par Desargies, et devenue d'un usage si fréquent dans la Géométrie moderne. Ce ne sont'pas les propriétés de la relation d'involution la plus générale, qui a lieu entre six points; mais ce sont des propriétés de plusieurs relations que l'on peut aujourd'hui considérer comme (les e:is particuliers de cette relation generale.
Les propositions 11, 29, 3o. 32, 3'|, 35, 36 et !\'\, par exemple, concernent une invo-
DÉFINITION GÉNÉRALE. l5l
encore au point A, pris comme élément de la seconde. On dit ;dors que les points A e1 A, se correspondent doublement.
lutiou do cinq points. On y considère deux systèmes de deux points conjugués, et leur point central; et l'on en déduit une autre relation entre les cinq points.
Pour co n cTiirc cette relation delà relation plus générale entre six points, il f.mt observer que le conjugué du cinquième point ou point central est à l'iuliui. -- —
Les propositions 37 et 38 concernent une involution de quatre points, qui sont deux points conjugués, un point double et le point central.
Là 3oe et la 4oe roulent sur une même propriété d'une involution de cinq points. On y considère deux systèmes de points conjugués et un point double.
Les !\\", l\i" et 43e sont une relation entre deux systèmes de doux points conjugues et leur point central ; relation nouvelle, differente des relations connues de. l'involution de six points.
Les douze propositions .','), '|6\ ... et 56 expriment une autre relation générale èlitre doux systèmes de deux points conjugués, leur point central et un autre point quelconque. Les propositions /,i, 4 2 et /|3 ne donnent que. des corollaires de prtjfe relation générale.
Desargues est aujourd'hui reconnu, malgré ces précédents anciens, comme le véritable auteur de la théorie de l'involution. On lui doit le théorème suivant :
TTë produit dos segments compris sur la transversale, entre un point delà conique et deux cotes opposés du quadrilatère, est au produit des segments compris entre le ,'mème point de la conique et les deux autres côtés opposés du quadrilatère, dans un rapport égal à celui dos produits semblablement laits avec le second point de la co nique situe sur la transversale. >,
Pascal, dans son Essai pour les coniques, donne ce théorème « dont le premier inventeur est M. Desargues, un des grands esprits de ce temps, et des plus verses aux Mathématiques et entre autres aux coniques ». {OEuvres de Pascal, t. IV, p. /|û8).
Le môme théorème est énoncé par Beaegrand dans une lettre critique sur l'Ouvrage de DEBARQUES mis au jour en i636 sous le titre de : Brouillon proiect d'une atteinte aux événement des rencontres d'un cône avec un plan. Cette lettre nous apprend que IIesargues désignait sous le nom à'involution de six points la relation qui :onstitug sSan beau théorème.
L'examen de la méthode de Des.vrgues a été facilité, dans ces derniers temps, par la publication de ses OEuvres, dont on est redevable à M. Poudra {OEuvres de Desargbes, précédées d'une nouvelle biographie de Desargues, suivies de l'analyse des Ouvrages de Bosse, élève et ami de Desargues ; de Notices sur Desarcues extraites de la -vie de Descartes par Baillet; de lettres de Descartes; de Notices diverses sur Desargues, par le P. Colonia, Pernetty, Poxcklet et Ciiasles;... et d'un recueil très-rare de devers libelles publiés contre Desargues. 2 vol. in-8. Paris, îSG", et 1870). Le Brouillon proiect cité plus haut, qui constitue l.'œuvre principale de Des.vrgues (vol. I, p. io3-23o) a été découvert en iS/JS par Ciiasles, dans un manuscrit de La Hire, daté de 1679. On ignorait, avant celte, découverte, jusqu'à quel point Des.vrgues avait poussé ses recherches de Geometrie moderne. La pp.rt.fi du Traité, dgs coniques de Dlsakgues et, bientôt après la disparition du Traité des coniques de P.vsgal, tonde sur des considérations em-j pruntées à Desarcues lui-même, ont causé un grand dommage aux progrès de la Scienc/ et à la connaissance historique des travaux du xvn0 siècle. — Voir Ciiasles. Aperçu historique, etc. Bruxelles, l837, p. 39-41, 77-79; Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XX, 1845, p. i55o-iâ5.',; Rapport sur les progrès de la Géométrie. Paris, 1870, p. 3o3-3o6. — IIoefer, Histoire des Mathématiques. Paris, 1874, p. 438.
IJ2 GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE Mil.
Lorsque, dajìs deux ponctuelles projectiles, u et «,, deux points distincts, A et A1? se correspondent doublement, tous les autres couples de points correspondants se trouvent dans la même condition.
Soit, en effet, B un troisième point quelconque de u ci B, son correspondant dans ut. Les deux formes de points AAjBB! et V, ABjB sont projectives (52) et le point B, pris comme élément de la seconde, a pour correspondant le point Bl5 considéré comme élément de la première.
Deux ponctuelles dont les éléments se correspondent ainsi doublement sont dites ponctuelles involutoires ou en ins'olu- ;ion.
La même définition s'applique, non-seulement à deux formes de la xneme espèce (faisceaux de rayons concentriques, faisceaux de plans coaxés, etc.) qui répondent aux conditions du précédent énoncé, mais encore à deux formes projectives J^.spèçes différentes, lorsque les éléments de l'une sont en double correspondance avec les éléments de la section ou de la projection de l'autre.
IL ■ — Courbes et faisceaux de rayons du second ordre en involution.
180. Deux courbes du second ordre, projectives et superposées, sont en involution lorsque deux quelconques de leurs j>oints, A et At , .se correspondent doublement.
Soient B et B, (fig- 44 e^ 4^) deux points correspondants quelconques, U le point d'intersection des droites AA, , BB,, et u la polaire de ce point par rapport au lieu des deux courbes du second ordre superposées.
Aux points A, A,, B de l'une des courbes correspondent respectivement les points Aj , A, B, de l'autre. Les deux faisceaux de rayons Bt (AA, B) et B (A, AB,), qui projettent respectivement, des points B, et B, les courbes A A, B et A, AB,, sont perspectifs à la ponctuelle u. Ils sont, en effel, projectifs aux courbes el, par conséquent, projectifs entre eux; de plus ils ont cojrime élément uni le rayon B, B ou BB, et sont dès lors des projections d'une même ponctuelle. Cette ponctuelle est d'ailleurs située sur u ;
FORMES ÉLÉMENTAIRES EN INVOLUTION. i ". '.
car les couples de rayons correspondants 13, A et B \,, P>| \, et l! \ se coupent sur la droite u.
Deux autres points de la courbe, C <i Ci} alignés avec U, sont projetés de la même manière par deux couples de rayons correspondants des faisceaux 13 et 13,, perspectifs à //, et sont, par suite, deux points doublement correspondants des courbes.
Il suit de là et des théorèmes précédemment établis (105) que:
.SV deux courbes projectiles du second ordre sont en involulion, les droites qui joignent deux points correspondants t/uelcouques se coupent en un même point U, et les points d'intersection
de deux tangentes correspondantes quelconques sont situés sur la
polaire u de \ .
La droite u est nommée Y axe d'involution et le point U le confie d' involution des courbes.
181 . Les deux faisceaux de rayons du second ordre qui enveloppent deux courbes involutoires du second ordre sont aussi en involution.
En effet, les tangentes en deux points doublement correspondants quelconques sont elles-mêmes doublement correspondantes.
Les faisceaux sont dès lors coupés, par chacun de leurs rayons, suivant deux ponctuelles involutoires; et pareillement :
Deux courbes du second ordre en involution sont projetées, de chacun de leurs points, au moyen de deux faisceaux de rayons du premier ordre en involution, et de tout point pris hors de leur plan, au moyen de deux surfaces coniques en involution.
Un système de droites, perspectif à lune des deux courbes, est en involution avec l'autre, et ainsi de suite.
