V. — Involution de ponctuelles avec des faisceaux de rayons

188. I ne ponctuelle u et un faisceau de rayons S, projectîfs l'un à l'autre, et tels que la droite u ne passe pas par le point S, sont en involution lorsque deux points quelconques, P et P,, de u, sont situés chacun sur le rayon du faisceau qui correspond à I autre.

En effet, les points P et P, se correspondant doublement, la section du faisceau par la droite est projective à u et en involution avec u.

On reconnaît de la même manière l'ihvolution d'un faisceau de plans avec une ponctuelle, ou avec un faisceau de rayons.

18e,). Les polaires de tous les points d'une ponctuelle u, par

rapport à une courbe du second ordre qui ne rencontre pas cette

Fig. /i7.

ÉLÉMENTS CONJUGUÉS DANS UNE INVOLI JTION. ) 5j

droite, concourent au pôle l de u et forment un faisceau de rayons (108) en involution avec la ponctuelle.

Si, dans ces conditions, deux points conjugués quelconques de la ponctuelle u et deux rayons conjugués du faisceau U sont accouplés involutoirement, tous les points de u et tous les rayons de U seront accouplés de la même manière. En particulier :

I Tous les couples de diamètres conjugues d'une courbe du second ordre Jorment un faisceau de raj ons en involution.

190. Nous pouvons maintenant démontrer de la manière suivante le théorème du n° 186 :

Considérons la forme involutoire M. N. \ \, (fig' 47 )> qui est une ponctuelle résultant de deux (ormes projectives en involution. Aux points M, Y, N, A, de l'une de ces formes, correspondent les points M, A, N, A de l'autre, car M et N sont des points correspondants communs aux deux formes, et A, A, se correspondent doublement. MANA, et M A, \ Y sont donc des formes projectives.

Projetons maintenant MANA,, d'un point quelconque S, sur une droite

passant par M. La projection MR.KÏ est projeclive à MANA, et, par suite, à MA, N V. Donc les formes MRKT, MA, NA sont projectives. Mais ces formes ont le point M uni ; conséquemment elles sont perspectives, ce qui revient à dire que les droites KA,, K.N, TA, concourent en un même point Q. On obtient ainsi le quadrangle QRST, dans lequel deux couples de cotés opposés se coupent respectivement en A et A,, tandis que les diagonales passent par M et N. Donc M7 A, N, \( sont effectivement quatre points harmoniques.