ELEMENTS CONJUGUES ET DOUBLES
S'il s'agit d'accoupler involutoirement les rayotts d'un système
de droites, on coupe le système suivant une courbe du second ordre et l'on procède comme pour celle-ci.
S'il s'agit des rayons d'un faisceau S du premier ordre ifig- 4°)< il suffit de construire une courbe du second ordre perspective au faisceau (par exemple un cercle passant par le centre S), et d'accoupler les points de cette courbe.
On procédera dune manière analogue pour toute autre forme élémentaire.
185. Deux formes élémentaires de la même espèce en involution (deux courbes par exemple) soni projectiles, concordantes ou opposées (48) selon que deux éléments conjugués, A et. A,, sont ou ne sont pas séparés pai- deux autres, B et B,.
Dans le premier cas, deux éléments correspondants se meuvent simultanément dans le même sens, l'un décrivant la forme AA( B, l'autre la forme A, AB, et ne se rencontrent jamais.
Dans le second cas, les deux éléments correspondants se meuvent en sens opposés et doivent tomber deux fois l'un sur l'autre.
On .donne à tout élément correspondant commun de deux ] formes en involution le nom d'élément double de la forme involutoire composée des deux premières formes ensemble.
Une forme élémentaire involuloire n'a aucun élément double, ou elle a deux éléments doubles, selon que deux de ses éléments conjugués sont ou ne sont pas séparés par deux autres.
Sur chaque élément double coïncident deux éléments conjugués de la forme en involution.
Si le centre d 'involution U d'une courbe iiu'olutoirc du second ordre est situé en dehors de la courbe, celle-ci a deux points doubles, M et N, qui sont les points de contact des deux tangentes issues du point U.
L'axe u d'involution, qui est la polaire du point U, coupe la courbe en ces points doubles.
186. Les éléments doubles d'une forme élémentaire en involut. ion sont narmoniq uement sépares par deux éléments conjugues.
l5G GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE Mil.
Il suffira de démontrer cette propriété pour les courbes du second ordre en involution, puisque tout autre cas peut être ramené à celui-là.
Soient M et N (fi g- 44) l°s éléments doubles; A et A, les conjugués proposés; B, B, un second couple de points conjugués. Les côtés opposés du quadrangle simple A-BA, B, se coupent en deux points conjugués ( 109, 111) qui sont séparés harmoniquement l'un de l'autre par M et N. Les rayons BA, BM, BA,, BN, qui projettent quatre points harmoniques, sont donc quatre rayons harmoniques. Par suite, les points doubles M et N sont harmoniquement séparés, sur la courbe, par les points A et A,.
187. On peut accoupler involutoirement les éléments d'une forme élémentaire, en prenant arbitrairement deux éléments doubles, M et N, ou un élément double M et un couple d'éléments conjugués, A et A,. Le conjugué d'un élément quelconque est alors déterminé.
Dans le premier cas, deux éléments quelconques sont conjugués s'ils sont harmoniquement séparés par les points M et N. Dans le second cas, le deuxième élément double N peut être immédiatement déterminé, puisqu'il est harmoniquement séparé de M par V et A,. Ce cas est donc ramené au précédent.
