Nous pouvons établir vantes
Les trois couples de côtés opposés d'un quadrangle plan complet sont coupés par une droite quelconque de leur plan, ne passant par aucun des quatre sommets, en trois couples de points conjugués d'une ponctuelle en involution.
maintenant les propositions sui-
Les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère plan complet sont projetés, d'un point quelconque de leur plan, n'appartenant à aucun des quatre cotés, par trois couples de rayons conjugués d'un faisceau en involution.
Fig. 48.
Soit (à gauche) QR.ST [fig- 4§) un quadrangle complet dont
les couples de côtés opposés, RT et QS, ST et QR, QT et RS sont coupés, par la droite u, respectivement aux points A et A, , B et B,, C et C, ; et soit O le point d'intersection de QS et RT. La forme ATOR est la projection de AC A, B, , du centre Q, aussi bien que la projection de AB A, G,, du centre S. La forme AG A, B, est donc projective à VP» \,C, et par suite à A.C.AB (41). Donc AA<.BB,.GC< est une involulion.
193. On donna deux couples de points, A, A, et B, B,, d'une ponctuelle involutoire, et l'on demande de déterminer le point G, , conjugué à un cinquième point quelconque C.
Nous pouvons éviter de recourir à la forme du second ordre.cn
ELEMENTS CONJUGUES DANS UNE INYOLUTIOX. l5g
construisant un quadrangle complet, dont deux côtés opposés passent par A et A,, deux autres par B et B, et un cinquième côté parC; le sixième côté déterminera le point cherché C,.
19i. L ne dvoile quelconque, ne passant par aucun des sommets d'un quadrartele simple, inscrit à une courue du second ordre, rencontre la courbe et les deux couples de côtés opposes du quadrartele en trois couples de points conjugués en involution (' ).
Soit, en effet, u ( fi g. 49) une droite qui Fig. .'19.
rencontre les côtés QT, RS, QR, TS du u quadrangle QPiST, respectivement en A, V,, B, B, et la courbe en P, P,. Les deux faisceaux de rayons qui projettent, de Q >
et de S, les points P, R, P, , T de la courbe sont projectifs. Les ponctuelles PBP, A et PA,P,B,, suivant lesquelles la droite // coupe ces faisceaux, sont donc aussi projectives. Les formes PA, P, B, et P, B, P \, étant d'ailleurs projectives (28, 41), les formes PBP, A et P, B, PA, le sont aussi. Donc PP, .AA, .BB, est une involution.
Cette involution est complètement déterminée parles couples de points AA,, BB,. Toute autre courbe
(') Cet énoncé est celui du célèbre théorème de Desarcoes, dont nous avons déjà parlé dans une précédente note. Desarcues ne s'est pas borné à considérer ce cas, qu'il a désigné sous le nom à' involution de six points. Il y a étudié aussi le cas où ''.eus points accouplés viennent à coïncider (involution de cinq points) et celui où, deux autres points accouplés coïncidant aussi, on n'a plus à considérer que quatre points; la relation d'involution se réduit alors à un rapport harmonique. (Brouillon proiect, etc., dans les OEuvres de Desargues réunies et analysées par M. Poudra. Paris. .86',, p. 171-176.)
La troisième des cinq propositions que Fermât a laissées comme exemple ou spécimen des porismes {Varia opera mathematica. Tolosa?, 1679) n'est airtre que le laineux théorème de Vinvolution de six points. On ne peut douter que l'illustre géomètre toulousain ne soit parvenu à cette proposition sans avoir connaissance de l'énoncé de Desargues; mais on ne doit pas moins reconnaître à celui que Poxcelet appelait très-justement le Monge de son siècle le double mérite d'avoir découvert son théorème vingt-cinq années avant Fermât et d'en avoir mis toutes les ressources à profit dans sa théorie des coniques.
On sait d'ailleurs quel parli Pascal a su tirer du théorème de Desargues. (Voir Chasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. C7, 77-90, JSi-3/ji.)
ll'iO GEOMETBIE DE POSITION. — CHAPITRE XIII.
du second ordre, circonscrite au quadr angle, coupera donc la droite u en deux points conjugués de la même involution.
Les courbes du second ordre inscrites dans un quadrilatere simple donnent lieu à une proposition tout à fait analogue.
Nous pouvons donc énoncer ces deux propositions générales :
Toutes les courbes du second ordre circonscrites à un quadrangle sont coupées par une droite u , située dans leur plan, mais ne passant par aucun des sommets du quadrangle, en des couples de points conjugués d'une ponctuelle incolti toi re u.
Si l'une des courbes circonscrites est tangente à la droite u, le point ■ de contact est un point double de l'involution. Il y aura donc deux courbes satisfaisant à cette condition, ou il n'v en aura aucune.
Toutes les courbes du second ordì e inscrites dans un quadrilatère sont projetées d'un point S, situé dans leur plan , mais n'appartenant à aucun des cotés du quadrilatère, par îles couples de rayons conjugués d'un faisceau involutoire S.
Si l'une des courbes inscrites passe par le point S, la tangente en ce point est un rayon double de l'involution. Il y aura donc deux courbes satisfaisant à cette condition, ou il n'y en aura aucune.
On peut appliquer les précédents résultats à la construction des courbes du second ordre, par points ou par tangentes, quand on connaît cinq points ou cinq tangentes. Cette application est analogue à celle que nous avons faite des tliéorèmes de Pascal et de Brianchon (79).
19o. Le premier théorème du n° 194- se transforme comme il suit pour le triangle :
l ne droite quelconque, ne passant par aucun des trois sommets d'un triangle inscrit à une courbe du second ordre, rencontre la courbe, deux cotés du triangle, le troisième côté et la tangente au sommet opposé, en trois couples de points conjugués en ttis'olulion.
Les courbes du second ordre inscrites dans un triangle, ou qui en touchent les cotés, donnent lieu à une proposition tout à fait analogue.
RELATIONS MÉTRIQUES ENTRE LES ÉLÉMENTS DUNE PONCTUELLE, ETC. lGl
APPENDICE AUX CHAPITRES IX ET XIII
RELATIONS MÉTRIQUES ENTRE LES FORMES EN INVOLUTION. FOYERS DES COURBES DU SECOND ORDRE ' .
I. — Relations métriques entre les éléments d'une ponctuelle et d'un faisceau de rayons en involution.
19G. Soient A, A4; B, B, ; C, Cj (Jïg. 5o et5i) trois couples de points d'une ponctuelle en involution. Les formes AAjBC, et A1AB1C sont pro-
Fijj. 5o.
Fi.r. 5i.
jectives, et l'on a, entre les segments déterminés par les six points, la relation
AAj > BA, A, A B,A
Âc[ ' bc[ ~~ Â7c ' bTc '
«jui peut être remplacée par cette autre
