AA, BA, AA, AB

Ici ' bc7 — cÂ7 * cb7'

car

AtA= — AA,, AjC = — CAj,

(') Voir en particulier : Chasles, Traité des sections coniques. Paris, i865, Chap. X. — Reye, Die Geometrie der Lage. Hannover, 1866, p. i20-i36. — Steiner, Vorlesungen ûber synthêtische Geometrie. Leipzig. 186;, p. 1 99-2 1 .'( .

On a donc finalement

( i ) AB! . BQ . £Aj = AC, . BAX . CB, .

La relation de projectivité indiquée plus haut ne cesse pas d'exister quand on permute entre eux deux points conjugués, C et Ct par exemple,

dans les deux formes projecïives. L'équation ;' i ) devient, après cette permutation,

(I) ABt . BC. Ci A, = AC. BAi . C, B, .

Des permutations analogues permettent d'exprimer encore la relation d'involution entre les six points considérés par l'une des équations suivantes :

AB . Bj C, . CAj = AC! . B, A, . CB,

AB.BjC .C1Al=AC .BjAì.CìB.

Pour former l'une quelconque__de£e^jqiiatre équations, la dernière par exemple, on prendra d'abord un segment AB; puis le segment BiC, compris entre le conjugué Bj de B et l'un des deux points du troisième couple; puis le segment C1A1, compris entre le conjugué Ci du point C et le conjugué Aj du point A du premier couple. Le produit de ces trois segments, AB.B1C.C1A1, forme le premier membre de l'équation. Pour former le second membre, il suffit de renverser chacun des trois segments du premier, de permuter les indices et de faire le produit des nouveaux segments ainsi obtenus.

On peut établir des relations analogues entreje^-suius des angles formës\ par les six éléments d'une involution dans un faisceau de rayons du pre- j mier ordre. Nous nous bornerons à indiquer une de ces relations, à titre d'exemple :

s'uiai'j. sin^1c. sincv'i — sin<zc. sin /;,</,. sinc,^.