OA.OA, =ÔM= ON

excentre O d'une ponctuelle en involution est donc le point milieu du ment MN compris entre les points doubles.

Cette équation exprime aussi que M et N sont harmoniquement séparés par A et A, (381, ce que, du reste, nous savions déjà d'autre part (180, 190).

Selon que le produit OA.OA, est positif ou négatif, il existe des points doubles ou il n'en existe pas. Donc :

Deuv points conjugués quelconques A et Aj d'une ponctuelle en involti-non sont situés d'un même côté, par rapport au centre O, si la ponctuelle a des points doubles, et de part et d'autre du centre si la ponctuelle n'a pas de points doubles.

199. Décrivons [fig- 5o, 5i) sur les segments AA,, BB,, CC,, limités par deux points conjugués d'une ponctuelle en involution, des cercles qui aient ces segments pour diamètres. Désignons par rie rayon de l'un quel-

l!)4 GEOMETRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES IX ET XIII.

conque de ces cercles, par exemple de celui qui est décrit sur AA,, et par d la distante de son centre K au point O. Nous aurons

OA = OK — AK = d — r, OAj = OK + KAt = d + /-, et, par conséquent,

OA.OAl=di— rs.

Si la ponctuelle en involution a deux points doubles, M et N, le point O est en dehors du cercle K (198) et d'1 — r- représente le carre de la tangente / qu'on peut mener du point O à ce cercle; car t et r sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont d est l'hypoténuse.

D'après l'équation (2), la longueur de la tangente t est constante pour tous les cercles construits sur les segments AAt, BBt, .... D'après l'équation (3), cette longueur est égale à la moitié du segment MN, compris entre les points doubles. Donc :

Les circonférences décrites sur les segments AAl5 BBj, ..., limités par

les couples de points conjugués d'une ponctuelle en involution , sont coupées orthogonalemcnt par la circonférence décrite du centre O sur le segment des points doubles.

On voit aussi que :

Les circonférences décrites sur AA,, BB,, . . . coupent orthozoLLolcineut toute circonférence passant par les points doubles.

Quand la ponctuelle en involution n'a pas de points doubles, son centre O est à l'intérieur du cercle décrit sur AA, et cV- — /-2 est négatif.

Menons dans le cercle, par le point O, la corde PQ perpendiculaire à AA,. Chacune des moitiés, OP, OQ, de cette corde est l'un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant pour second côté d et pour hypoténuse /•. On a donc

d2-+- OP*=/-2, ou

d2— r2= — OP"= — ÔQ2.

D'après l'équation (2), la longueur de la demi-corde doit rester la même pour tous les cercles décrits sur les segments AA,, BB,, CC,, .... Il suit de là que tous ces cercles passent par les points P et Q, et que les angles

APA11 BPB1} CPCn . . . sont droits.

FOYERS. ili)

Nous pouvons donc énoncer successivement les propositions suivantes :

Quand une ponctuelle en involution n'a pas de point x doubles, toutes les circonférences décrites sur les segments AAt, BB,, ..., limités par les

couples de points conjugués, passent par les deux points où se coupent deu.c quelconques d'entre elles.

Quand une ponctuelle en involution n'a pas de points doubles, il y a, dans tout pian qui la contient, deux points, P et Q, de chacun desquels le s\ strine est projeté par un faisceau en involution, dont les couples de rayons conjugués sont rectangulaires.

Un faisceau de rayons en involution est rectangulaire lorsque deux couples quelconques de rayons conjugués se coupent à angle droit.

Si l'on inscrit dans une courbe du second ordre une suite de triangles rectangles, disposés de telle sorte que les sommets des angles droits soient tous en un point S, les hypoténuses se coupent toutes en un même point.

Les points de la courbe sont en effet involutoirement accouplés par le faisceau rectangulaire S '180'.