IV. — Foyers

200. On nomme foj er d'une courbe du second ordre un point tel que les couples de rayons qui en sont issus, et qui sont conjugués (111) par rapport à la courbe, se coupent toujours à angle droit. En d'autres termes, un foyer est un point tel que les côtés de tout angle droit ayant son sommet en ce point sont des droites conjuguées par rapport à la courbe.

Le faisceau en involution des rayons conjugués qui se croisent en un foyer ne peut pas avoir de rayons doubles.

Xi>«t rayon est, en effet, perpendiculaire à son conjugué. On ne peut /aonc pas mener du foyer des tangentes à la courbe, ce qui revient à dit quu/ifojer est toujours situé dans la légion interne de la courbe (183). Tout foyer F est situé sur un axe de la courbe. En d'autres termes, le (diamètre passant par un foyer est un axe de la courbe; car il est perpetui i- Srçiluire à la corde conjuguée qui passe par le même foyer ( 13i).

La droite qui joint deux foyers F, Ft d'une courbe du second ordì e est un a. re de la courbe.

Cette droite est, en effet, conjuguée aux deux perpendiculaires qu'on peut élever sur elle en F et en Fn et son pôle coïncide avec le point à l'in- Oni des deux perpendiculaires.

lG6 GÉOMÉTRIE DE POSITION.

APPENDICE AUX CHAPITRES IX ET XIII

Dans le cercle, le centro peut être considéré comme un foyer. Deux rayons conjugues par rapport à un cercle ne sont perpendiculaires entre eux cjue si l'un d'eux ou chacun d'eux est un diamètre. Par où l'on voit frisé/ment que le cercle n'a d'autre foyer que son centre.

Le cercle doit être considéré comme exclu des recherches suivantes.

Fis. 52.

201. Toute droite /> \.f>g' 5a), située dans le plan d'une courbe du second ordre, est conjuguée à la perpendiculaire />,, abaissée sur p de son pôle. Soit a un axe de la courbe du second ordre, coupé par/? et/>! en P

et Pl7 sous des angles aigus. Tout rayon du faisceau P est alors perpendiculaire à son conjugué du faisceau Pt. Rapportons, en effet, les faisceaux P et P, projectivement entre eux, en assignant à tout rayon de l'un, comme correspondant, le rayon conjugué de l'autre.

Représentons par, A le pôle à l'infini de l'axe a. Les trois rayons a, PA, p de P sont respectivement perpendiculaires à leurs correspondants conjugues PjA, a ?\px de Pt. Par suite, les faisceaux P et Vv engendrent un cercle qui a PPj pour diamètre, et deux rayons conjugués quelconques de ces faisceaux sont perpendiculaires entre eux. Donc :

J tout point P, pris sur l'un des axes d'une courbe du second ordtc^ correspond, sur le même axe, un autre point P1} tel que deux rayons conjugués que/conques, passant respectivement par P et par Vx, sont perpeny diculaircs enti e eux.

Lorsque deux points, dans la condition de P et de P,, sont conjugués l'un a l'autre, les points de l'axe a sont accouples iiwolutoirement.

Rapportons, en effet, projectivement entre eux les deux faisceaux de layons parallèles qui ont respectivement les directions des rayons p et pt, en assignant comme correspondant, à chaque rayon de l'un, le rayon qui lui est conjugué dans l'autre. La droite a est coupée par les deux faisceaux suivant deux ponctuelles projectives, et ces ponctuelles sont en involution, car deux quelconques de leurs points, tels que P et Vu se correspondent doublement.

Si la ponctuelle en involution a présente deux points doubles, chacun de ces points est un foyer de la courbe du second ordre.

FOYERS. I (j;

Si la ponctuelle n'a pas de points doubles, eliaci/// des deux points d'où elle est projetée par un faisceau rectangulaire de rayons est un foyer de la

courbe.

En effet, deux rayons rectangulaires quelconques, issus d'un tel point, sont conjugués.

Dans le dernier cas, les foyers sont situés sur l'axe de la courbe du second ordre différent de a. Ils constituent les points doubles d'une ponctuelle involutoire formée, sur ce second axe, de la même manière (pie la ponctuelle située sur a dans le premier cas.