Les deux propositions précédentes fournis- 's' JJ

sent le moyen de construire très-simplement les foyers d'une courbe du second ordre. Mais la méthode suivante est encore plus simple, quand il s'agit de l'ellipse ou de l'hyperbole.

Les tangentes aux sommets de l'axe principal coupent une troisième tangente quelconque en deux points, P et Q, qui sont projetés, de tout point Ni de Taxe principal, par un couple de rayons conjugués (1 \ 6 ) . On déterminera donc les foyers, pour lesquels les deux rayons conjugués doivent être

rectangulaires, en décrivant, sur PQ comme diamètre, un cercle dont les points d'intersection avec l'axe principal seront les foyers cherchés.

209. Si deux tangentes TA et TB fig. 56 à une courbe du second ordre sont coupées par une troisième, respectivement aux points A! et B,, A, B, C étant les pj^ 513. trois points de contact et F un foyer propre de la courbe, on a {'10k) les relations suivantes entre les angles qui projettent de ce foyer les segments des tangentes :

B^FC^ BFB, =iBFC, CFA, = A,FA = |CFA, et, par conséquent,

Bj FC + CFA, = { BFC -t- CFA] , ou bien B, FA^ = BFT = TFA.

\-rJL GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES IX. ET XIII.

Donc :

Le segment variable3 limité sur une tangente mobile à la courbe du second ordre par deux tangentes fixes, est projeté d'un même foyer sous un ansie de grandeur constante.

Pendant que le point de contact C de la tangente mobile parcourt la courbe, les points At et Bt de'crivent sur les tangentes fixes deux ponctuelles projectives, et les rayons FAM FB, décrivent autour du foyer F deux faisceaux égaux de rayons. Donc :

Les ponctuelles projectives résultant de l'intersection de deux tangentes à la courbe du second ordre par toutes les autres tangentes sont projetées, de chacun des foyers de 4a courbe, par deux faisceaux de rayons égaux et p i ojectifs concoi dan ts .

Cette propriété s'étend à la parabole, qui a pour second foyer son point à l'infini, et au cercle, dont le centre est un foyer.

On pourra donc construire autant de tangentes qu'on voudra à une courbe du second ordre, étant donnés un foyer et trois tangentes.

Lorsque, dans le cas de la parabole, la tangente mobile AiBt passe à l'infini, on vérifie que l'angle des droites FA! et FB! est égal à l'un des angles formés par les tangentes fixes TA et TB. L'angle AiFBj ayant d'ailleurs la même ouverture dans toutes les positions de la tangente mobile,' on en déduit que :

Tonte circonférence circonscrite au triangle formé par trois tangentes à une parabole passe par le foyer de la courbe.

Par suite :

Les circonférences circonscrites aux quatre triangles formés par les côtés d'un quadrilatère, pris trois à trois, ont une intersection commune au foyer delà parabole inscrite dans le quadrilatère.

Lorsque, dans le cas de l'hyperbole, les deux tangentes fixes TA, TB se confondent avec les asymptotes et ont par conséquent pour points de contact, A et B, leurs points à l'infini, les droites TB et FB sont parallèles,

et l'angle B[FAj, égal à BFT, est égal aussi à 1 un des angles formés par

l'asymptote TB et par l'axe principal TF. De même, le second angle formé par les droites TB et TF est égala l'angle Ajl^Bj, suivant lequel le seg-

nient A,!^ est projeté du second foyer F,. Les deu\ angles BjFA,, A1F1B1 sont donc supplémentaires, et par suite :

Les fovers d'une hyperbole et les points d'intersection d'une tangente quelconque avec les asymptotes sont quatre points situes sur une même circonférence.

On voit d'ailleurs facilement (203) que le centre de cette circonférence et les deux mêmes points d'intersection déterminent une seconde circonférence qui passe par le centre de l'hyperbole.

GEOMETRIE DE POSITION. — CIIM'ITRE \IV