PROBLEMES DU SECOND DEGRE

Staidt, Geometrie der Luge. Nûmberg, 1 8^7 > § 23. — Rêve, Die Geometrie der Loge. Hannover, iSb'6, p. i3(5-i/|G. — Thomae, Ebeiie geometrische Gebilde erster und zweiter Ordnung vont Standpunkte der Geometrie der Loge. Halle, i S-j3 , p. 3/|-3j. — Cremona, Elementi di Geometria projettiva. Torino, 1 S j3, § 19.

I. — Éléments unis dans les formes élémentaires projectives qui reposent l'une sur l'autre.

210. Déterminer les points unis dans deux formes projectives de points, k et kt , du second ordre, situées su/' la même courbe.

Soient A, B, C (fig- 5j) trois points quelconques de k, et, respectivement, A,, B,, C, les points correspondants de Aj. En projetant la forme k{ du point A et la forme k du point A, , nous obtenons deux faisceaux projeclifs de rayons A(A,B1C,)etA,(ABC),

qui sont en position perspective, puisque le rayon VA, du faisceau \ a pour correspondant le rayon A, A du faisceau A,. Les points d'intersection de deux rayons correspondants quelconques des faisceaux se trouvent donc sur la droite u, qui joint le point d'intersection de AB, et de A,B au point d'intersection de A(!, el de A,C. Les points où la droite u rencontre la courbe sont les points unis des formes /. cl /r,.

ÉLÉMENTS UNIS DANS LES FORMES ELEMENTAIRES PROJECT IVES, ETC. i;5

On obtient deux points unis ou un seul ou l'on n'en obtient aucun, selon que la droite u coupe la courbe, ou la touche, ou ne la rencontre pas.

Le théorème de Pascal permet de trouver, sur la droite u, le point d'intersection des droites BG, et B, C. Les trois couples de côtés opposés de l'hexagone AB, G A, BG|, insci'it à la courbe du second ordre, se coupent en effet sur u.

On détermine aussi la droite u en projetant les formes projectives k{ et k, respectivement des points B et B, , ou encore des points CetC,, au moyen de deux faisceaux de rayons, qui sont également perspectifs.

En général, si P, Q sont deux points quelconques de k, et P(, Q| les points correspondants de kt, le point d'intersection de PQ, et de P, Q est sur la droite u. On peut donc construire la droite u, étant donnés trois points quelconques de À" et les points correspondants de Â'i .

Quand les deux formes k et A", sont en involutiou, elles constituent une courbe involutoire du second ordre. La droite u est l'axe d'involution.

Quand il existe des points doubles, la courbe est rencontrée en ces points par l'axe d'involution. Il suffit en ce cas, pour construire u, de connaître deux couples de points conjugués, A, A, et B, B,. Aux points A, B, A, de k correspondent en effet les points A,,B|, A de A,, et u passe par les deux points où les droites AB, et AB sont respectivement coupées par les droites A, B et A, B,

{fig. 44 et 45).

Le pôle de u, où se coupent les droites AA, et BB,, est le centre de l'involution, et si deux tangentes peuvent être menées à la courbe par ce point, elles ont pourpoints de contact les points doubles.

211. On peut ramener au problème précédent les divers autres cas qui se trouvent compris dans cet énoncé plus général :

Déterminer les éléments unis clans deux formes élémentaires situées l'une sur l'autre.

Si les formes élémentaires sont deux surfaces coniques ou deux systèmes de droites génératrices d'une surface doublement recti-

i;6 GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIV.

ligne, on les coupe par un plan quelconque, suivant deux formes projectives de points qui sont situées sur une même courbe du second ordre.

S'il s'agit de deux faisceaux de rayons du second ordre, les courbes que ces faisceaux enveloppent sont encore situées l'une sur l'autre et projectives. Il suffit alors de déterminer les points unis de ces courbes; les rayons cherchés passent par ces points.

Si les formes données sont deux faisceaux de rayons du premier ordre, concentriques et situés dans un même plan, on fait passer par leur centre commun une courbe du second ordre, qui les coupe suivant deux formes projectives de points, À et kt. Les deux rayons unis des faisceaux passent par les deux points unis de À" et de kt .

Si les deux formes élémentaires projectives sont deux ponctuelles superposées, v et e, (fîg- 58), on ramène ce cas au pré-

Fig. 58.

cèdent en projetant les ponctuelles d'un point quelconque S, au moyen de deux faisceaux concentriques de rayons.

On failpasserparS, dans le plan Sy, une courbe du second ordre, un cercle par exemple. On projette du point S, sur la courbe, trois points quelconques A, B, G de v, et les trois points correspondants A, , 13,, C, de v{. On obtient ainsi les points A', B', C et A',, 13', , C', de la courbe, et la droite n est déterminée, puisqu'elle doit passer par les points d'intersection de A'B', et de V,B', de B'C, et de 13', C de C'A', et de C, A'. Si donc la courbe du second ordre est coupée par u en deux points M', V. on projette ces points de S sur la droite v, cl l'on obtient les points