CONSTRUCTION DES COURBES DU SECOND ORDRE ASSUJETTIES, ETC
M, A de c qui coïncident avec les points correspondants M,, N< de Vi.
II. — Construction des points communs à uns conique et à uns droite.
2 1 '2 . Etant donnés, dans un pi un, une droite u et cinq points A, B, C, D, E d'une courbe du second ordre, constiuire les points communs à la courue et à la droite u.
Etant donnés, dans un plan, un point S et cinq tangentes à une courbe du second ordre, construire les tangentes à la courbe qui /tassent par le point S.
Les faisceaux de rayons A et B engendreront la courbe, s'ils sont rapportés projectivement entre eux, de telle sorte qu'aux rayons AC, AD, AE de l'un correspondent respectivement les rayons BC, BD, BE de l'autre. Mais la droite u coupe les faisceaux suivant deux ponctuelles projeclives, dont les points unis (si elles en ont) sont les points communs à cette droite et à la courbe. Dès lors, selon que les ponctuelles auront deux points unis, ou un seul, ou qu'elles n'en auront aucun, la droite u coupera la courbe, ou la touchera en un point, ou n'aura avec elle aucun point commun.
On peut rechercher de cette manière (96, 97) si la courbe et la droite à l'infini ont deux points unis, ou un seul, ou si elles n'en ont aucun, et l'on résout ainsi ce problème :
Vérifier si une courbe de second ordre dont on connaît cinq points est une hyperbole, une parabole ou une ellipse.
S'il s'agit de construire des points communs à une courbe du second ordre et à une droite, étant données cinq tangentes à la courbe, on détermine les points de coritact des tangentes et l'on est ainsi ramené au problème précédent.
III. — Construction des courbes du second ordre assujetties à des conditions données.
213. Construire une courbe du second ordre passant par quatre points donnés A, B, C, D, et tan-
Construire une courbe du second ordre tangente à quatre droites données a, b, c, d et passant par un
gente à une droite donnée u, qui ne passe par aucun des points donnés.
Les côtés du quadrangle déterminé par les quatre points donnés coupent la droitea en quatre points, qui forment deux couples d'une involution dont on cherche les points doubles.
S'il y a deux pointsdoub les ( 1 9i) , le problème est résolu par deux courbes du second ordre que l'on peut construire par points, en appliquant le théorème de Pascal.
S'il n'y a pas de points doubles, aucune courbe du second ordre ne satisfait aux conditions proposées.
Si la droite u est à distance infinie, le problème devient :
Construire une parabole qui passe par quatre points donnés A, B, C, D.
point donné S, qui n'est sur aucune des droites données.
Les sommets du quadrilatère déterminé par les quatre droites données sont projetés du point S par quatre rayons, qui forment deux couples d'une involution dont on cherche les rayons doubles.
S'il y a deux rayons doubles, le problème est résolu par deux courbes du second ordre que l'on peut construire par tangentes, en appliquant le théorème de Brianchon.
S'il n'y a pas de rayons doubles, aucune courbe du second ordre ne satisfait aux conditions proposées.
Si l'une des droites données est à distance infinie, le problème devient :
Construire une parabole tangente à trois droites données et passant par un point donné.
IV. — Deux polygones simples étant donnés dans un plan, construire un troisième polygone, inscrit à l'un des deux premiers et circonscrit à l'autre.
21 4% Le problème peut encore être énoncé, avec plus de précision, clans les termes suivants :
Construire un polygone (n-gone) dont les sommets s'appuient sur n droites ui} «2, u3, . . . , w„, données dans un plan, et dont les cotés passent par n points, S| , S2, S3, . . . , S„, donnés dans le même plan .
Projetons, du centre Sf, les divers points de uK sur z/2. Projetons ensuite, du centre S2 sur u3, la ponctuelle «2, obtenue par la projection précédente; puis, du centre S3, la ponctuelle u3 sur utf ..., et, finalement, du centre S„, la ponctuelle un sur ut. Chacune des n -f- i ponctuelles projectives ainsi obtenues est une projection de la précédente, et deux d'entre elles, la première et
ÉLÉMENTS ACCOUPLÉS DANS DEUX. FORMES ÉLÉMENTAIRES INVOLUTOIRES, ETC. I 7<)
la dernière, reposent sur une même droite u,. Chacun des points unis de ces deux ponctuelles fournira donc sur u, le sommet d'un polygone satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Il y aura, en général, deux points unis et, par suite, deu\ solutions.
Dans le cas particulier où les deux ponctuelles projectives u, ont plus de deux points unis, et par conséquent tous leurs points unis, le problème comporte une infinité de solutions.
Il n'est pas nécessaire, d'ailleurs, que les droites «,, u2, us, . . . , un et les points S( , S2, S3, . . . , S„ soient, comme nous l'ayons d'abord supposé, situés dans un même plan. Il suffit que S) soit dans un plan avec u{ et u2, et, pareillement, S2 avec a2 et h3, . . . , S„ avec un et «, ( ■ ).
V. — Éléments accouplés dans deux formes élémentaires involutoires situées l'une sur l'autre.
215. Déterminer les éléments accouplés dans deux formes élémentaires involutoires situées l'une sur l'autre.
Supposons que les deux formes élémentaires soient deux formes de points en involution, situées sur une même courbe du second ordre. Soient, dans l'une des formes (fig. 5g), deux points A et B de la courbe, respectivement conjugués aux points A, et B1} et, dans l'autre forme, deux points C et D, conjugués aux points C| et Dj. Déterminons les centres d'involution U et \ , tels que deux points conjugués quelconques de l'une des formes de points soient alignés avec U, et deux points conjugués de l'autre forme avec ^ .
Si la droite UV est coupée par la courbe en deux points, X et X,, ces deux points sont conjugués entre eux dans chacune des deux formes involutoires de points. Si L\ est tangente à la courbe, le point de contact est un point double de chacune des deux
Fig.
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— - - Cj
ET
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(') Le cadre de nos leçons ne nous permet pas d'entrer dans tous les développements que comporterait cet intéressant prob!ème. On sait le parti qu'en a pu tirer Po.ncelet {Applications d'Analyse et de Géométrie, etc., t. II, Paris, iSG.'i, p. 1-G6).
l8o GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIV.
formes. Enfin, si UV n'a aucun point commun avec la courbe, il n'y a, dans les deux formes involutoires, aucun point qui soit doublement conjugue à lui-même ou à un autre point. Ce dernier cas se présente seulement lorsque chacune des deux ponctuelles involutoires a deux points doubles (18o), car alors seulement les centres d'involution U et V sont situés en dehors de la courbe. Les polaires des points U et V se coupant d'ailleurs au pôle de la droite UV, c'est-à-dire à l'intérieur de la courbe, il s'ensuit que les points doubles de chaque ponctuelle sont séparés par les points doubles de l'autre.
Si les formes élémentaires involutoires sont deux faisceaux concentriques de rayons, situés dans le même plan, on les coupe suivant une courbe du second ordre passant par leur centre commun.
On peut ramener, de la même manière, tous les cas du problème général à celui que nous venons de considérer.
Le dernier résultat obtenu ne s'applique donc pas seulement à deux formes involutoires de points situées sur la même courbe du second ordre. Il peut être exprimé, d'une manière plus générale, par cet énoncé :
Deux formes élémentaires involutoires situées l'une sur l'autre ont deux mêmes éléments, conjugués dans chacune d'elles, sauf le cas où les deux formes sont involutoires opposées et oit les éléments doubles de l'une sont séparés par ceux de l'autre. Si ces éléments, doublement conjugués entre eux, s'unissent, les formes involutoires ont un élément double uni.
Si les formes sont deux faisceaux de rayons du premier ordre, dont l'un orthogonal (198), celui-ci ne possède aucun rayon double ; de là ce cas particulier de la proposition :
Dans tout faisceau de rayons involutoires du premier ordre, il y a deux rayons accouplés rectangulaires.
216. Nous avons ainsi démontré de nouveau la proposition du n° 136, savoir :
L'ellipse et V hyperbole ont deux diamètres conjugués perpendiculaires entre eux, c'est-à-dire deux axes.
DÉTERMINER, DANS UN FAISCEAU INVOLUTOIRE DE RAYONS, ETC. iSl
Tous les diamètres forment, en effet, vin faisceau involutoire de ravons, si deux diamètres conjugués sont accouplés l'un à l'autre (189).
Ce résultat appartient à la géométrie de la mesure, aussi bien que le problème suivant qui s'y rattache :
Etant donnés deux couples de diamètres conjugués d'une courbe du second ordre, construire les axes de la courbe.
Par le centre S de la courbe (jîg. 60) où se coupent les diamètres donnés, on fait passer un cercle quel-
. . Fi'C- 60.
conque C, qui rencontre deux des diamètres
conjugués aux points A, At et les deux autres en B, B,. Les points du cercle sont ainsi involutoirement accouplés, au moyen du faisceau dediamètres, el le point U d'intersection Nie AA,, BBj est le centre d'involution avec lequel s'alignent deux points conjugués quelconques du cercle. La droite qui joint le point U au centre C coupe le cercle en deux points conjugués, X et X(, qui sont projetés de S par les deux axes cherchés, SX et SX,.
Si le point U est extérieur au cercle, celui-ci a deux points doubles, M, N, qui sont projetés de U par deux tangentes au cercle et de S par les asymptotes de l'hyperbole à laquelle appartient, dans ce cas, le faisceau de diamètres donné (136).
VI. — Déterminer, dans un faisceau involutoire de rayons, deux rayons qui soient harmoniquement séparés par deux points donnés de leur plan.
217. Nous supposerons, pour rendre la solution possible, que les points donnés M, N ne sont pas alignés avec le centre S du faisceau de rayons et qu'aucun rayon double du faisceau ne passe par l'un ou l'autre de ces points. Cela posé, projetons du point S, au moyen d'un second faisceau involutoire de rayons, la ponctuelle involutoire dont M et N sont les points doubles. Il ne reste plus qu'à déterminer les deux rayons qui sont conjugués entre eux dans chacun des deux faisceaux (215).
