On appelle perspectifs

i° Un système plan et une gerbe, quand le système plan est une section de la gerbe, et, réciproquement, la gerbe une projection du système plan ;

20 Deux systèmes plans, quand ils sont des sections d'une même gerbe ;

3° Deux gerbes, quand elles sont des projections d'un même système plan.

Lorsque, dans une série de formes fondamentales de la seconde espèce, chaque forme est perspective à la suivante, deux quelconques d'entre elles, la première et la dernière par exemple, sont rapportées l'une à l'autre, ainsi qu'on l'a déjà vu pour les formes fondamentales simples. Chaque élément de l'une des deux formes considérées correspond, en effet, à un élément déterminé de l'autre ; mais, en général, les deux formes ainsi rapportées ne sont pas perspectives.

Si l'on modifie la position relative de deux formes perspectives de la seconde espèce (par exemple de deux systèmes plans per-

FORMES COLLIXÉAIRES. 187

spectifs), une certaine relation persiste entre ces formes, niais elles perdent la relation de perspectivité. Dans les deux systèmes plans liés par cette condition, à toute ponctuelle correspond une ponctuelle; à tout faisceau de rayons, un faisceau de ravons; à toute courbe avec ses tangentes, une courbe avec ses tangentes; atout rt-gone, un n-gone, et ainsi de suite.

2:2 î. Nous appellerons colli né air es \ ' ! ou homograpliitjugsj.

i° Deux systèmes plans, S et 2,, si atout point P de S correspond un point P( de S|, et à toute droite g de 2, passant par P, une droite g, de Zi} passant par P, -,

2° Un système plan S et une gerbe S( , si à tout point P de Z correspond un rayon pK de S, et à toute droite g de 2, passant par P, un plan y, de Si, passant par /->, .

3° Deux gerbes, S et S,, si à tout ravon /; de S correspond un rayon pt de S|,et à tout plan y de S, passant par/?, un plan y, de S,, passant par /?,.

Nous pouvons définir ces conditions en des termes cpii s'appliquent aussi aux espaces, en disant :

Deux formes fondamentales de la seconde espèce ou de la troisième 7 sont appelées coLlinéairea si à deux éléments quelconques

(') Moines [Der barycentrische Calcul, etc. Leipzig, 1827, p. 3oi) a considéré ie premier ces systèmes dans toute leur généralité. En leur donnant le nom de collinéaires, il a voulu exprimer, non-seulement qu'à tout point d'un système correspond un point de l'autre, mais encore qu'à toute droite correspond aussi une droite.

Notre étude va porter sur la relation la plus simple entre éléments d'espèces différentes dans les figures. Cette relation conduit à d'autres, d'un ordre plus élevé, sur lesquelles on se base pour faire correspondre : à une droite de l'une des figures, une courbe dans l'autre; à un point de l'une, une droite ou une courbe dans l'autre. Voir Magnus, Nouvelle méthode pour découvrir des théorèmes de Géométrie [Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, Bd Vili, p. 5i, Berlin, i83s). — Mûbius, Théorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung [Abhandlungen der mathematîsch-physischen Classe der Kônigl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften, Bd II, p. 529. Leipzig, i855). — Magnes, Sammlung von Aufgaben und Lehrsàtzen aus detonai-, tischen Geometrie, p. 229 et 2S8. On doit à ce dernier auteur les noms de centré etd'a.re de collinéation, que nous trouverons plus loin [Op. cit., p. /|3 et suiv.). Nous nous bornerons à ajouter ici que les figures planes dotées d'un axe de collinéation ne sont autres que les figures appelées homologitjues par Poncelet ' Traité des propriétés projectives, etc. Paris, 1822, nos 227 et suiv.). L'expression de figure collinéaire équivaut d'ailleurs à celle de figure homographique, adoptée par Chasles [Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 261 et suiv., p. 698 et suivantes).

lob GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

d'espèces différentes, P et g de Fune, P reposant sur g, correspondent respectivement deux éléments d'espèces différentes, P, et gK de l'autre, P( reposant sur g, .

Il suit de là que si, par exemple, S et S, sont deux systèmes plans collinéaires, et a, a, deux droites correspondantes de ces systèmes, à chaque point P de a doit correspondre un point P, placé sur a,; car, s'il en était autrement, at ne passerait pas par P,, comme la relation de collinéation l'exige.

Il résulte encore de la définition, que la droite de jonction de deux points quelconques, P et Q, du système S, doit correspondre à la droite du système 2, qui joint les points P, et Q| correspondants des points P et Q.

En effet, à la droite PQ doit correspondre une droite passant aussi Lien par P, que par Q, et ne pouvant dès lors être autre que P,Q,.

Enfin, si a et b sont des droites quelconques d'un système plan S et a,, b, les droites correspondantes d'un second système Z,, collinéaire à S, le point d'intersection P des droites a et b correspond au point d'intersection P, des droites a, et b,.

Le point P,, correspondant de P, doit en effet se trouver, tant sur aK que sur bs ; il est donc à l'intersection de ces droites.

Pareillement, si a est une droite quelconque du système plan S et a le plan qui correspond à cette droite dans la gerbe collinéaire St, à tout point de a correspond un rayon de a. Au point d'intersection de deux droites a et b dans 2 correspond, dans S(, l'intersection des deux plans qui correspondent à a et à b\ à la ligne de jonction de deux points, P et Q, dans S, correspond dans S, le plan déterminé par les rayons qui correspondent à ces points.

222. Les formes fondamentales perspectives de la seconde espèce sont collinéaires.

223. Deux formes fondamentales de la seconde espèce, collinéaires à une troisième, sont collinéaires entre elles.

Les deux propositions précédentes conduisent immédiatement à cette autre :

Si, dans une série de formes fondamentales de la seconde es-

FORMES RÉCIPROQUES. 1 8g

pece, chat/ ue forme est perspective à la suivante, deux quelconques d'entre elles, et, par conséquent, la première et la dernière en particulier, sont collinéaires.

22 ï. Quand deux systèmes plans sont collinéaires, la droite à l'infini de l'un correspond, en général, à une droite propre dans l'autre. Par suite :

Deux systèmes plans étant collinéaires, les droites parallèles de l'un ont pour correspondantes, dans l'autre, des droites concourant en un même point de la droite propre qui correspond, dans le second sj stèrne, à la droite impropre du premier ; et vice versa.