II. — Formes réciproques

225. La loi de dualité nous conduit à une nouvelle relation simple, dite relation de réciprocité, entre les formes fondamentales* d'ordre supérieur.

On appelle réciproques ou corrélatifs :

i° Deux systèmes plans, 2 et 2,, si à tout point P de E correspond une droite p, de T>{, et à toute droite g de 2, passant par P, un point G! de 2, situé sur pK \

2° Un système plan 2 et une gerbe S(, si à tout point P de 2 correspond un plan 7r( de S, et à toute droite g de 2, passant par P, un rayon de S,, situé sur TCj •

3° Deux gerbes, S et S,, si à tout rayon g- de S correspond un plan y, de S,, et à tout plan s de S, passant par g, un rayon e, de S|, situé sur y, .

Nous pouvons définir cette condition de réciprocité, en des termes applicables aussi aux espaces, en disant :

Deux formes fondamentales de la seconde espèce ou de la troisième sont dites réciproques lorsqu'à deux éléments quelconques d'espèces différentes, tels que P et g, de l'une, P étant sur g, correspondent respectivement, dans l'autre, deux éléments pi} G( d'espèces différentes, p{ passant par G(.

11 suit de là qu'à la droite de jonction de deux points -quelconques A, B d'un système plan 2 doit correspondre, dans le

igo GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

système plan réciproque à 2, le point où se coupent les droites qui correspondent aux points A et B.

Désignons, en effet, ces droites par a,, b{, et le point qui correspond àia droite AB par P, ; ce point doit se trouver sur<7, aussi bien que sur Z>, ; il n'est donc autre que le point d'intersection des droites «, et Z>,.

Vice versa, le point d'intersection de deux droites d'un système plan a pour élément correspondant, dans le système plan réciproque, la droite de jonction des points qui correspondent aux deux droites considérées dans le premier système.

Deux gerbes réciproques donnent lieu à des relations analogues :

A toutplan déterminé par deux rayons quelconques d'une gerbe, correspond, dans la gerbe réciproque, le rayon suivant lequel se coupent les plans qui correspondent aux deux rayons de la première gerbe.

Dans le cas d'un système plan 2 et d'une gerbe S,, réciproque à ce système, la droite qui joint deux points quelconques, A et B, dans 2, a pour correspondante, dans S,, la droite d'intersection des plans qui correspondent aux points A et B ; et, de même, le point d'intersection de deux droites quelconques, a et &, dans 2, a pour correspondant, dans S<, le plan déterminé par les rayons qui correspondent aux droites a et b.

226. Deux formes fondamentales de la seconde espèce réciproques à une troisième sont collinéaires entre elles, et vice versa, si, de deux formes fondamentales collinéaires, l'une est réciproque à une troisième, il en est de même de l'autre.

Si, par exemple, deux systèmes plans, 2, et22, sont réciproques à un troisième 2, à tout point P de celui-ci correspondent les droites pt et p2 des deux premiers, et à toute droite g de 2, passant par P, correspondent, dans 2, et dans 22, deux points, G, et Go, respectivement situés sur p{ et sur j)2. Par conséquent, à toute droite /;, de 2, correspond une droite /;2 de 22, et à tout pointG, de 2,, situé sur/?,, un point ( 12 de 22, situé sur p2. Donc li et 22 sont collinéaires.

La seconde partie de la proposition peut être ramenée àia première, ou démontrée d'une manière analogue.