CONSIDÉRATIONS ANALOGUES POUH LES SURFACES CONIQUES

(lamentale k (122). Par suite, les points à l'infini de k-2 ne peuvent correspondre qu'à des tangentes menées du point O à la courbe À,. La courbe k2 sera donc une ellipse ou une hyperbole, selon que le point O sera intérieur ou extérieur à la courbe k{ ; k2 sera une parabole si O est un point de /. , .

Si A est le pôle d'une droite a par rapport à ki} et si at, A, sont respectivement la polaire de A et le pôle de a par rapport à À", A, sera le pôle de a{ par rapport kk2 ; car à un système harmonique de quatre pôles correspond un système harmonique de quatre polaires (109) et vice versa. Donc le centre C de k2 sera le pôle, relatif à À-, de la droite c qui est, par rapport à k{, la polaire du point O. Deux diamètres conjugués de k2 correspondront à deux points de la droite c, réciproques par rapport à/.,, et ainsi de suite.

239. Si l'on donne, dans le plan d'une conique fondamentale, un complexe quelconque de points, de droites et de courbes, et si l'on construit la polaire de chaque point, le pôle de chaque droite, la courbe polaire réciproque de chaque courbe, on obtient un nouveau complexe de droites, de points et de courbes, qui est polaire réciproque du premier, puisque chacun des deux contient les pôles des droites de l'autre, les polaires des points de l'autre, les courbes polaires des courbes de l'autre. Si l'un de ces complexes exprime la démonstration d'un théorème, ou la solution d'un problème, le second exprimera la démonstration du théorème correlati! ou la solution du problème corrélatif, par l'échange des éléments point et droite. Par exemple, à chaque propriété des polygones inscrits dans les coniques doit correspondre une propriété des polvgones circonscrits de même espèce, et réciproquement. On peut même dire, en général, qu'iln'existe aucune relation graphique (34) d'une forme donnée dans un plan qui n'ait sa réciproque dans une autre forme; à moins, toutefois, que la relation proposée ne soit elle-même sa réciproque, ce dont il y a des exemples.