V. — Courbes polaires réciproques

236. Les considérations du numéro précédent, relatives à la correspondance des courbes dans les systèmes plans réciproques, reposent sur un théorème déjà démontré (108), en vertu duquel, une conique fondamentale étant donnée, si un point ou pôle variable décrit une droite p, la polaire de ce point pivote autour d'un autre point qui est le pule de p\ et réciproquement, si une droite, prise comme polaire, pivote autour d'un point fixe P, le pôle de cette droite parcourt une autre droite, qui est la polaire du point P. En conséquence :

Si deux courbes quelconques, situées dans le plan d'une co

•caproquement, tes pôles des tangentes de la pisor te que chacune des deux courbes pourra être considérée, soit connue l' enveloppe des polaires des points de l'autre, soit comme lieu des pôles des tajigentes de cette autre.

Deux courbes dans ces conditions sont dites polaires réciproques (<).

237. Une courbe du /;,eme ordre est généralement rencontrée par une transversale en n points. Chacun de ces points est le pôle d'une tangente à la courbe réciproque, et cette tangente passe nécessairement par le pôle de la transversale arbitraire. Le système de la transversale et de ses points d'intersection avec la première courbe est donc remplacé, dans la figure réciproque, par le système d'un nombre égal de tangentes, concourant en un même point, qui est le pôle de la transversale. Ces deux systèmes sont d'ailleurs réciproques, ce qui revient à dire que :

Deux courbes réciproques étant données, si l'on mène d'un même point toutes les tangentes possibles à l'une d'elles, le système de ces tangentes a pour polaire une droite qui rencontre l'autre courbe en un nombre de points indiqué par l ordre de celle-ci, et précisément égal au nombre des tangentes [respectivement polaires de ces points) qu'on a menées à la première courbe.

238. On a vu (23o) cpie la courbe polaire réciproque d'une conique est une autre conique. Il s'agit maintenant de rechercher les caractères distinctifs auxquels on reconnaît que la polaire réciproque À2 d'une conique A, est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

La droite à l'infini est la polaire du centre O de la conique fon-

• (') Cette dénomination est due à Poncelet (Traité des propriétés projectives des figures, etc. Paris, 1822, n° 232, et Paris, i865, t. II, section II et section supplément Kure). A nos précédentes observations (note de la p. i4), nous ajouterons seulement que deux figures polaires réciproques sont deux figures réciproques ou corrélatives dans le sens de la loi de dualité (Chap. Ili), car à tout point de l'une correspond une droite dans l'autre, à toute ponctuelle de la première un faisceau dans la seconde. Ces figures sont d'ailleurs dans un même plan et ont une position mutuelle déterminée, car tout point de l'une et la droite correspondante de l'autre sont liés par la condition d'être pôle et polaire par rapport à une conique fixe. Au contraire, deux ligures corrélatives, assujetties aux seules conditions delà loijdedualité, n'ont entre elles aucun lien de position mutuelle. (Voir Steiner, S) stanatisela' Entwickelung, etc. Merlin, i832, Vorrede, p. 7.)

La réciprocité des figures peut encore s'entendre dans un sens différent des deux (pie nous venons d'indiquer; nous reviendrons plus loin sur ce sujet.