I. — Point à l'infini
10. Si un ravon (droite indéfinie) tourne dans un plan autour d'un point fixe S (Jig- i)? il détermine, pourchacunr de ses posi-
tions, un point sur une droite u située dans le même plan et ne passant pas par S. Si le rayon accomplit sa rotation dans un
(') La question des éléments à l'infini a été récemment discutée avec chaleur dans la Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichcii Unterricht de Hoffmann (Leipzig, Druck und Verlag von B.-G. Teubner). Voir Erster Jahrgang (1870)» p. 279, 49I 493- Ztveiter Jahrgang (i8-]i ), p. 391-409, 494~5oi. Drifter Jahrgang (1S72), p. 11-18, i55-i62, 249-267. On voit reparaître sous cette forme l'ancienne question des parallèles, sur laquelle les géomètres d'autrefois ont si longuement débattu.
(')On trouve, dans l'ouvrage cité, ces lumineuses idées sur l'infini: 1. Unp
sens elre\ient à sa position initiale, il sera passé par tous les points de u, mais une seule fois par chacun d'eux. Quand le rayon mobile est parallèle à la droite u, on dit qu'il passe par le point à l'infini de celte droite. Une droite n'a qu'un seul point à l'infini, car le rayon mobile n'est parallèle à u que dans une seule de ses positions (1).
De là résulte immédiatement que deux droites parallèles ont le même point à l'infini. Deux droites dans un plan ont toujours un point commun (à distance finie ou infinie). Toutes les droites parallèles entre elles et situées dans un plan forment un faisceau de rayons dont le centre est à l'infini. Toutes les droites de l'espace parallèles entre elles forment une gerbe dont le centre est aussi à l'infini.
Pour distinguer le point à l'infini d'une droite des points situés sur celte droite à distance finie, on a coutume d'appeler le premier point impropre et les autres points propres.
droite peut être considérée comme prolongée à l'infini, auquel cas les deux extrémités opposées se joignent entre elles. — 2. Les droites parallèles sont des droites concourantes à l'infini et réciproquement. — 3. Une droite et un cercle sont deux espèces d'un même genre, dont le tracé peut être énoncé dans les mêmes termes. Galilée avait déjà exprimé celte dernière idée (voir en effet les Lettere famigliari del eonte Lorenzo Magalotti, P.I. Venezia, MDCCXIX, Lettre XVIe, p. 25/)). Une étude faite en vue de mettre en évidence les conceptions philosophico-mathématiques dece grand savant conduirait très-probablement à recueillir de nouveaux et importants matériaux ponile jugement à porter sur sa méthode. Sur ce point comme sur quelques autres, nous avons malheureusement à regretter que certaines lacunes s'opposent à une plus exacte appréciation du tribut apporté par Galilée aux progrès des Mathématiques proprement dites.
Desargees (op. cit.) et Newton (Pkilosophite naturalis principia mathematica, 16S7) considèrent les asymptotes des hyperboles comme, des tangentes dont les points de «'(intact sont à distance infinie. Blumberger (Grundzûge einiger Theorieen aus derneueren Geometrie, etc. Halle, i858, p. 5) affirme que Leibnitz a exprimé la même conception et que Descartes s'y est aussi rangé, mais il ne spécifie pas les sources auxquelles il a puisé.
(') Ou bien « parce que, dans un plan et parmi point, on ne peut mener qu'une seule droite qui ne coupe pas une droite donnée ». Cette distinction fondamentale a été mise en lumière par Gaiss, à la fin de 1792 ; mais elle n'a fait, de sa part, l'objet d'aucune publication spéciale. On la trouve indiquée dans les Notices bibliographiques de Gal'ss sur quelques écrits de Schwab, de Mettermch et de Mùller (Gottingische gelehrte Anzeige, 1816, p. G17, et 182'.!, p. 17, 2.")) et aussi dans les Lettres de Gauss à Scbdbhaker, t. 11, p. 268 et ij3i, V, p. 2.'iG (Sartorils, Gauss zum Gedàcktniss, p. 81). Voir Baltzer, Die Elemente der Mathematih, t. il, dritte Aufiage. Leipzig, 1870, P- iC.
