DROITE A L'INFINI

11. On arrive à concevoir, en quelque manière, le point ù L'infini d'une droite comme la limite des positions d'un point mobile qui la parcourrait, d'un mouvement continu et indéfini, dans l'un ou dans l'autre sens. Le point à l'infini apparaît alors comme situé de part et d'autre de la droite. Toute droite n'ayant, ainsi qu'on l'a déjà observé, qu'un seul point à l'infini, on doit admettre que toute droite est une ligne fermée, dont les deux parties s'étendent en directions opposées et se rencontrent en un point à l'infini ou point impropre.

Cela posé, il est clair qu'une droite ne peut pas être divisée en deux parties par un seul point et que deux points sont nécessaires pour effectuer cette division. L'un des deux segments contient le point à l'infini et a une étendue infiniment grande, tandis que l'autre a une longueur finie : à moins, toutefois, que l'un des deux points de division ne soit situé à l'infini, auquel cas les deux segments seraient infiniment grands.

Si l'on désigne pari le point à l'infini et par A et B les deux points qui divisent la droite en deux segments, tous les points du segment AÏB sont séparés de ceux du segment AB par les points A et B: c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de passer d'un point de l'un des segments à un point de l'autre sans franchir A ou B. Il résulte de cette observation qu'un seul point A d'une droite ne sépare pas deux autres points quelconques de cette droite, et que si deux points, tels que B et C, sont situés de part et d'autre de A, il n'est pas nécessaire de passer sur A pour aller de B à C; car on peut, à cet effet, parcourir aussi le chemin infini à travers le point à l'infini.

Sur quatre points A, B, C, D d'une droite, qui se suivent dans l'ordre même où ils viennent d'être nommés, deux couples seulement sont séparés l'un de l'autre, savoir : AC par BD, et réciproquement BD par AC; les points qui se suivent immédiatement, comme A et B, ou A et D, ne sont pas séparés.

Les mêmes considérations s'appliquent à quatre ravonsrt, b, c, d d'un faisceau de ravons S et à quatre plans a, [3, y, o d'un faisceau de plans a.