I. — Systèmes plans alliés

249. Deux systèmes plans. ^ et 2|, sont dits collinéaires par affinité , ou alliés ; -), quand leurs droites à l'infini se correspondent.

A tout point à l'infini de l'un des systèmes correspond alors un point à l'infini dans l'autre; à tout parallélogramme, un parallélogramme, à toute ponctuelle, une ponctuelle semblable 57).

2p0. Pour construire deux systèmes plans alliés, il suffit de prendre arbitrairement un triangle dans l'un comme correspondant à un triangle dans l'autre. Les côtés de ces triangles forment, avec les droites à l'infini des systèmes, les deux quadrilatères complets correspondants qui déterminent, en général, la correspondance projective de deux systèmes plans collinéaires 23 î .

Soient a, b, c et au bu cx les droites respectivement assignées comme

(') Voir, en particulier : Poncelet, Traité des propriétés projectiles, etc. Paris, i865-6G. — Môbils, Der barycentrische Calcul, etc. Leipzig, 1827, II Abschn. — Chasles, Aperçu historique, etc. ; Mémoire Je Géométrie, etc. Bruxelles, 1837, Deuxième Partie, § 23. — Bellavitis, Principii della Geometria di derivazione (Annali di Scienze matematiche e fìsiche, t. V. Roma, i85'j, p. i\"ì et suiv. . — AYitzschel, Grundlinien der neueren Geometrie, etc. Leipzig, i85S, § 172-176. — Weisseneorx, Die Projection in der Egerie. Berlin, 1862, p. 165-196. — Pfatf, yeuere Geometrie. Erlangen, 1867, § 5. — Rete, Die Geometrie der Lage. Hannover, 1S6S, p. 43-5i. — Staupicl, Lehrbuch der neueren Geometrie. Wien, 1870, III Abschn. — Hankel, Die Elemente der projectivischcn Geometrie. Leipzig, 1S75, VII Abschn.

- Voir Baltzer, Die Elemente der Mathematik. Zweiter Band. Dritte Auflage. Leipzig, 1870, p. 191. Les figures alliées (affini) ont été considérées par Clairallt

Mémoires de l'Académie des Sciences. Paris, i~}3i), par Eller 'Introductio in ana- Irsin infinitesimorum,\. II, cap. X\ III) et par Poncelet (Traité des propriétés projeclives. Paris, 1822, n° 326). Mobius est le premier qui se soit livré à des récherches générales sur les figures alliées {Der barycentrische Calcul. Leipzig, 1827, p. 91 et suiv., 23o).

correspondantes dans les systèmes plans 2Ì, 34 et soient A, B, C, Au Biy Cj les sommets des deux triangles qui ont ces droites pour côtés.

Pour construire le point Dt de ^i qui correspond à un point quelconque D de 2l, on joint le point A au point D par la droite AD, qui coupe le côté BC du triangle en un point E, on détermine sur B^j le point Et qui satisfait à la proportion

BC : EC^BjCj : EiCj,

et l'on joint les points E4, At. Le point cherché Dx est évidemment (57, 2Ì9) le point de AjEi qui divise ce segment dans le rapport même suivant lequel le segment AE est divisé par le point D.