COURBES CORRESPONDANTES DANS LES SYSTEMES ALLIES

ai 3

conjugues de l'une ont pour correspondants deux diamètres conjugués de l'autre.

En effet, à une série de cordes parallèles dans Tune correspond une série de cordes parallèles dans l'autre, et, par suite de la proportionnalité des segments correspondants, au point milieu d'une corde correspond le point milieu de la corde correspondante. Aux asymptotes de l'une des hyperboles correspondent les asymptotes de l'autre.

257. Pour allier deux hyperboles données, il suffit de faire correspondre aux asymptotes de V une les asymptotes de l'autre et, en outre, à un point ou à une tangente de fune, un point ou une tangente de l'autre.

Cela revient à dire que les hyperboles peuvent être rapportées projecti— vement entre elles, de telle façon qu'aux deux points à l'infini et à un troisième point quelconque de l'une correspondent respectivement les points à l'infini et un troisième point quelconque de l'autre. Les deux systèmes plans

Fig. 71.

dans lesquels se trouvent les deux hyperboles sont alors rapportés collinéairement entre eux; de plus ils sont alliés, car les droites de jonction des points à l'infini des deux hyperboles, c'est-à-dire les droites à l'infini des systèmes, se correspondent.

258. Pour allier deux ellipses données, il suffit de prendre deux points de l'une, situés sur deux diamètres conjugués, et de leur assigner comme correspondants deux points de l'autre, pareillement situés sur deux diamètres conjugués.

Soient k et /ij [fig. 71) les deux ellipses données, ABCD et A^C^Di les parallélogrammes, respectivement inscrits à ces courbes, qui ont pour diagonales les couples de diamètres conjugués AG etBD, Aj Ct et Bj Dt , choisis

arbitrairement ; soient, en outre, M, Mt les centres des deux ellipses. On prend comme correspondants, dans les deux systèmes alliés, les points A, B, C et A,, B[, Cj. Au point milieu M de AC correspondra le point milieu Mi de AjC,, et à l'ellipse k, qui touche en A et C deux droites parallèles à MB, et qui passe par B, correspondra l'ellipse ku qui touche en Ai et Ci deux parallèles à M^B, et qui passe en outre par Bt.

On peut substituer aux diamètres conjugués MA et MB d'une ellipse k deux autres diamètres conjugués quelconques.

Dans toutes les positions de MA et de MB, l'aire du parallélogramme ABCD est à celle de l'ellipse k comme l'aire du parallélogramme A^Ct D, est à celle de l'ellipse kt. Il s'ensuit que :

Tous les parallélogrammes inscrits dans une ellipse, et dont les diagonales sont deux diamètres conjugués, ont même aire.

Le parallélogramme circonscrit, dont les cotés touchent l'ellipse aux points A, B, C, D, est double du parallélogramme ABCD. Donc :

Tous les parallélogrammes circonscrits à une ellipse, et dont les côtés sont parallèles a deux diamètres conjugués, ont même aire.

Si 2« et ib sont les longueurs des deux axes d'une ellipse, ^ab est l'aire de tout parallélogramme circonscrit dont les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués. Si l'ellipse est alliée à un cercle de rayon r, l'aire S de l'ellipse est à ^ab comme l'aire wr2 du cercle est à l'aire (\r"- du carré circonscrit au cercle. Donc

S : /[ab = t. >■- : 4>'2,

d'où

S = nab.

Donc : l'aire de l'ellipse est égale au produit des demi-axes par le

nombre ît.

Le cercle étant divisé en quatre parties égales par deux diamètres conjugués, il en est de même de l'ellipse.