SURFACE ENGENDRÉE PAR DEUX GER1ÌES RÉCIPROQUES

gerbe S(. Il coïncide avec S clans le cas seulement où y{ passe par le rayon S, S, commun aux deux gerbes.

Tout rayon de S, qui n'a pas un second point commun avec la surface, est tangent à celle-ci au point S.

266. A toute tangente en S correspond un plan passant par SS,. Toutes les tangentes à la surface, passant par S, sont donc silures (225) clans le plan de la gerbe S qui correspond au rayon commun SS,. Ce plan est appelé plan tangent à la surface du second ordre au point S. Donc :

Le rayon commun aux deux gerbes génératrices dune surface du second ordre a pour correspondant, dans chacune des deux gerbes, un plan tangent à la surface.

267. A la proposition fondamentale du n° 264 correspond la proposition inverse suivante :

Une surface quelconque du second ordre ¥ peut toujours être engendrée au moyen de deux gerbes réciproques, ayant pour centres deux points S, S, pris arbitrairement sur la surface.

Soient, en effet, X et ^lje. les deux coniques d'intersection de la surface ¥ et de deux plans qui passent par S, mais non par S). Soit T le point où la droite commune aux deux plans rencontre de nouveau '*¥ ; ST est une corde commune aux deux coniques X et fi. Faisons passer par la droite S,T un plan, pris arbitrairement, qui rencontre de nouveau X en L et ^ en M. Soient, finalement, L, et L2 deux autres points quelconques de X et M,, Mo deux autres points de f/..

Construisons (230) deux gerbes réciproques, ayant pour centres S, S|, et telles qu'aux rayons S(L,, L2, M.{, M2) correspondent les plans S,(LL,, LL2, MM,, MM2). Au rayon ST, commun aux plans SLL,L2, SMM,M2, correspondra dès lors le plan S,LMT. Soit ¥, la surface du second ordre engendrée par les deux gerbes considérées. La section de cette surface par le plan SLL,L2 est la conique engendrée par les faisceaux projectifs S(T, L,, L2), L(T, L, , L2). Cette conique passe parles cinq points S, L, L, , L2, T; elle coïncide donc avec X. De même, la section de ¥ , par le plan

220 geometrie: de POSITION. — CHAPITRE XVI.

S M M, M2 coïncide avec y.. Les coniques À, u et le point S,, situé en dehors d'elles, sont donc communs aux surfaces "*¥ et ¥,. Tout plan passant par S( coupe V et ¥, suivant deux coniques qui coïncident, car elles ont cinq points communs : le point S, et les quatre intersections du plan considéré avec X et avec fx. Donc les surfaces ¥ et *¥ { se réduisent à une seule.

Les propriétés démontrées pour les centres arbitrairement choisis des deux gerbes génératrices de la surface du second ordre s'étendent à tous les autres points de cette surface; donc :

Une suif ace du second ordre est touchée, en un quelconque de ses points, par un plan qui contient toutes les tangentes à la surface en ce point.

Tout autre plan, passant par le même point, coupe la surface suivant une conique qui, dans un cas particulier , se résout en deux droites.

Le plan StLMT ayant d'ailleurs été pris arbitrairement, nous concluons que :

Deux gerbes, dont les centres sont sur une surface du second ordre, peuvent être rapportées entre elles d une infinité de manières, de façon à engendrer la surface.