II. — Surface engendrée par deux gerbes réciproques

261. Deux gerbes réciproques non concentriques étant données, le lieu des points où les rayons de l'une rencontrent les plans correspondants de l'autre est une surface du second ordre qui passe par les centres des deux gerbes.

Soit ¥ la surface engendrée par les gerbes données, S et S,, et soit a un plan quelconque de S, coupant la surface suivant une courbe qu'il s'agit de déterminer. Au plan a. correspond, dans la gerbe S(, un rayon a{, et au faisceau de rayons de S, situé dans le plan a, correspond, dans S(, un faisceau de plans qui a pour axe le rayon ax. Ces deux faisceaux correspondants et projectifs (228) engendrent (112, III) une courbe du second ordre qui est commune au plan a et à la surface VF. La même courbe peut d'ailleurs être considérée comme engendrée par le faisceau de rayons de S situé sur a et par le faisceau de rayons suivant lequel le faisceau de plans at est coupé par le plan a ; par où l'on voit que la courbe du second ordre commune à la sur j ace ¥ et au plan a. passe par les points S et aKa (61).

On démontrerait de la même manière que tout plan de là gerbe S, coupe la surface ¥ suivant une courbe du second ordre qui passe par le point Sf .

Il suit de là qu'une droite quelconque g, nécessairement située dans un plan S g qui coupe la surface suivant une courbe du second ordre, a tout au plus deux points communs avec cette courbe et par suite avec la surface elle-même. ¥ est donc une surface du second ordre passant par les centres S et S, des gerbes génératrices.

La droite g pourra, dans un seul cas particulier, être contenue tout entière dans la surface. Ce cas est celui où un rayon quelconque du faisceau a repose sur le plan correspondant du faisceau a,. La courbe d'intersection se résout alors en un système de deux droites (98).

.• 265. Toute droite g, passant par S, a en général un second

point, différent de S, commun avec la surface. Ce point est celui

où la droite g est coupée par le plan y, qui lui correspond dans la