III. — Plan à l'infini

13. La surface à l'infini ou impropre, dans laquelle se trouvent tous les points et toutes les droites à l'infini de l'espace, devra être considérée comme un plan, le plan à l'infini, puisqu'elle est coupée par toute droite propre en un point et par tout plan propre suivant une droite.

D'ailleurs, deux droites quelconques, situées à l'infini, pouvant être considérées comme les intersections respectives de deux

(') Voir, au sujet de cette expression symbolique : A. Trasson, De l'infini, ou Métajiln sique et Géométrie. Evieux, 1871. — A. Tiunson, Sur une propriété des asymptotes et sur cette locution : « Les points à l 'infini sur un vlan sont en ligne droite » ( Nouvelles annales de 'Mathématiques , a" série, t. XII, 1873, p. ySg). — Lamaulk, Note sur l'emploi de l'infini dans l'enseignement des Mathématiques élémentaires (îUe /noires de l'Académie Royale de Belgique, t. XXVII).

(s) L'expression position d'un plan {Stcllung ciner Ebe/ie) est due à Sïacdt, Geometrìe der Loge. Nùrnberg, 18/17, p. 25.

FORMES DE LA MÊME ESPÈCE OU D'ESPÈCES DIFFÉRENTES, ETC. 1 l

couples de plans parallèles, et ces quatre plans s'entrecoupant, en outre, suivant quatre droites parallèles, qui concourent en un même point à l'infini, commun aux deux droites en question, on voit que toutes les droites à l'infini peuvent être censées se couper deux à deux ; dès lors toutes ces droites, et par conséquent tous les points à l'infini de l'espace, peuvent être considérés comme appartenant à un même plan, qui c>i le plan à l'infini f1).

IV. — Formes de la même espèce ou d'espèces différentes rapportées

entre elles.

14. On dit que deux formes fondamentales sont rapportées entre elles lorsqu'à chaque élément de l'une correspond, en vertu d'une certaine loi, un élément de l'autre. Deux formes fonda-

(') Poncelet (Traité des propriétés projectives des Jigures, etc., n°" 9G, 580) est parvenu à la droite à l'infini et au plan à l'infini, à l'aide du principe de continuité, do*nt il a su faire un si remarquable usage. Rien que, dans le cours de nos Leçon?, nous n'ayons jamais occasion d'invoquer et; principe, ou plutôt pour ce motif même, nous croyons devoir expliquer ici en quoi il consiste; nous nous servirons, à cet effet, de la belle définition qu'en a donnée Chaslcs ( Traité de Géométrie supérieure. Paris,

lS52, p. I2-IJ.)

Certaines parties d'une figure, considérée dans un état général de construction, peuvent être réelles ou imaginaires; quand elles sont réelles, on dit que le l'ait de leur existence constitue une propriété contingente de la figure; et pour distinguer ces parties de celles qui sont absolues ou permanentes, on les appelle contingentes. Cela posé, il arrive souvent queles parties contingentes servent utilement, quand elles sont réelles, pour la démonstration d'un théorème, et que cette démonstration n'est plus possible quand ces mêmes parties deviennent imaginaires : on dit alors qu'en vertu du principe de continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend au second cas, et on l'énonce d'une manière générale. Le contraire a lieu quelquefois, et c'est quand certaines parties d'une figure sont imaginaires qu'on y trouve les éléments d'une démonstration facile, dont on étend les conséquences au cas où les mêmes parties sont réelles.

Tel est le principe de continuité, au moyen duquel on procure aux diverses propositions de la Géométrie l'extension et la généralité qui leur manquaient d'ordinaire, quand on considérait d'une manière restreinte les figures et les résultats des raisonnements qui leur étaient appliqués. Poncelet considéra l'admission et l'usage de ce principe comme tout à fait indispensables pour donner à la doctrine des projections et aux diverses conséquences qui en dérivent la certitude et l'extension nécessaires ; il y trouva en outre le moyen d'interpréter, et d'introduire ouvertement en Géométrie, Aa. considération des infinis et des imaginaires, qui ont une part si importante et si nécessaire dans l'Analyse algébrique et dans toutes les applications du calcul. —

L'usage du principe de continuité en Géométrie date probablement des origines de

mentales rapportées à une troisième sont aussi rapportées entre elles; en effet, à chaque élément de la troisième correspond toujours un élément de chacune des deux autres formes; d'où il suit que les deux éléments de celles-ci sont correspondants. Etant données autant de formes qu'on voudra, si la seconde est rapportée à la première et chacune des suivantes à celle qui précède, elles sont toutes rapportées les unes aux autres.

15. Pour rapporter entre elles, de la manière la plus simple et la plus claire, deux foimies d'espèces différentes, on les déduit l'une de l'autre au moyen d'une projection ou d'une section, et l'on prend comme correspondants deux éléments dont l'un dérive de la projection ou de la section de l'autre.

Si, par exemple, un faisceau S de rayons (fig- i) et une ponctuelle u, qui ne passe pas par le centre du faisceau, sont situés dans Je même plan, nous pouvons assigner comme correspondant à chaque rayon du faisceau le point de la ponctuelle qui se trouve sur ce rayon. Au rayon parallèle p de S correspond alors le point à l'infini de u.

Si un système plan S est considéré comme section d'une gerbe S, dont le centre est placé en dehors de 2, E et S sont rapportés l'un à l'autre, de telle sorte qu'à tout point de S correspond le rayon de S passant par ce point et à toute droite de 2 le plan de S passant par cette droite. A chaque segment de S correspond un angle plan de S, à chaque angle plan de S, un angle dièdre de S. Au plan de S parallèle à 2 correspond dès lors la droite à l'infini de 2, et chaque rayon de S situé dans ce plan a pour correspon-

ectte science, ainsi que le fait observer Lacroix, dans la préface de son grand Traité de Calcul différentiel et de Calcul integrai, au sujet de la seconde proposition du livre XII des Eléments d' Euclide, proposition qui a pour objet de prouver que les aires des cercles sont entre elles comme les cariés des diamètres. C'est par des considérations analogues qu Archimede s'éleva à des propositions beaucoup plus difficiles, telles que les rapports des surfaces et des solidités du cylindre et de la sphère, la quadrature de la parabole, etc. Mais l'énoncé du principe de continuité remonte seu- •. lement à Leibnitz qui, dans une réponse à Malebranche, au sujet de la doctrine des lois du mouvement, l'a proposé comme exprimant cette loi de la nature, que tout se fait par degrés insensibles; ou, comme le disait la philosophie scolastique : Natura abhorret a saltu (Voir Ciiasi.es, aperçu historique sur l'origine et le développement de< méthodes en Géométrie, etc. Bruxelles, 1837, p. 2o3, 357).

FORMES DE LA MÊME ESPECE OU DESPECES DIFFÉRENTES, ETC. ii

dant son point à l'infini situé sur 2. Chaque faisceau de plans de S a pour correspondant le faisceau de rayons suivant lequel il est coupé par S; le faisceau de rayons devient un faisceau de rayons parallèles, dans le cas où l'axe du faisceau de plans est parallèle à E. Si S est une gerbe de rayons parallèles, ayant son centre à l'infini, à tout point propre de S correspond un rayon propre de S et à tout élément impropre du plan un élément impropre de la gerbe. Si S est le plan à l'infini et S un point propre, à chaque rayon de S correspond son point à l'infini, à chaque plan sa droite à l'infini, à chaque faisceau de rayons une ponctuelle à l'infini, à chaque faisceau de plans un faisceau de rayons à l'infini.

16. Deux formes fondamentales de la même espèce peuvent être rapportées entre elles d'une manière très-simple, quand on les considère comme sections ou projections d'une troisième forme. Ainsi, dans deux, faisceaux de rayons ou dans deux droites ponctuelles, qui sont des sections d'un même faisceau de plans, les rayons, ou respectivement les points, situés dans le même plan du faisceau de plans, se correspondent entre eux deux à deux. Deux faisceaux de rayons, S et Sl7 peuvent aussi être facilement rapportés l'un à l'autre quand ils sont les projections d'une même ponctuelle u, de telle sorte que les ravons passant parle même point de la ponctuelle se correspondent mutuellement deux à deux.

Si, dans deux gerbes, on assigne comme correspondants deux à deux les rayons qui ont même direction, cela signifie que les gerbes elles-mêmes sont considérées comme projections d'un même système plan dont le lieu est le plan à l'infini.