III. — Axes principaux et sommets
287. Tout diamètre d'un ellipsoïde ou d'un liyoerboloïde est conjugué à un plan diamétral et à tout diamètre situé dans ce plan.
Le plan diamétral divise en deux parties égales les cordes de la surface qui sont parallèles au diamètre conjugué, et vice versa, le diamètre passe par les centres de toutes les coniques de la surface dont les plans sont parallèles au plan diamétral conjugué.
Deux diamètres, conjugués par rapport à une surface du second orche, sont aussi conjugués par rapport à la courbe d'intersection de cette surface et de lem- plan.
En effet, toutes les cordes de la courbe, parallèles à l'un des diamètres, soni divisées par l'autre en deux parties égales.
Les diamètres de la surface situés dans le plan sécant sont, par conséquent, involutoirement accouplés (280).
Un diamètre perpendiculaire aux plans des sections dont il contient les centres prend le nom d'axe principal de la surface du second ordre. Les points où l'axe rencontre la surface se nomment, sommets.
288. Si la surface est un paraboloide, elle n'a qu'un seul axe principal a, sur lequel se trouvent les centres des coniques (sections de la surface) dont les plans sont perpendiculaires à la direction commune de tous les diamètres.
Les plans diamétraux qu'on peut faire passer par l'axe a sont conjugués entre eux deux à deux. Le faisceau de plans a est donc involutoire (280). En le coupant par un plan perpendiculaire à a, on détermine un faisceau involutoire de rayons; et, selon que ce dernier faisceau est ou n'est pas rectangulaire, tous les couples de plans conjugués du faisceau «, ou seulement deux plans, « et a.u de ce faisceau, sont perpendiculaires entre eux. Le plan a, perpendiculaire et conjugué à tous les plans perpendiculaires à l'axe principal «, est d'ailleurs perpendiculaire à la direction dans laquelle est situé son pôle à l'infini; il divise donc en deux parties égales toutes les cordes du paraboloide qui lui sont perpendiculaires, et peut dès lors être nommé plan de symétrie de la surface. La même remarque s'applique au plan k„ conjugué rectangulaire de «. Donc :
Le paraboloide a au moins deux plans de symétrie qui se coupent à a/igle droit suivant l'axe principal.
Lorsque tous les plans passant, par l'axe de symétrie a sont des plans de symétrie, toutes les courbes d'intersection du paraboloide par des plans perpendiculaires à a sont des cercles, car elles ont un faisceau de diamètres orthogonaux (132). On a, dans ce cas, un paraboloide de rotation.
289. Les diamètres d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde ne sont pas, en général, perpendiculaires aux plans diamétraux qui leur sont respectivement conjugués. Lorsque celte condition se réalise, tout diamètre est un axe principal de la surface, et l'on a, comme cas particulier de l'ellipsoïde, la surface spbérique. Chaque faisceau de diamètres est alors rectangulaire et, conséquemmnit, le plan de chaque faisceau coupe la surface suivant un
