AXES PRINCIPAUX KT SOMMETS

cercle. On voit encore par là que, dans ce cas particulier, tous les points do la surface sont équidistants du centre.

En général, pour l'ellipsoïde comme pour l'hyperboloïde, à un diamètre quelconque d correspond un seul diamètre conjugué perpendiculaire dx, qui est 1 intersection de deux plans diamétraux, l'un $t perpendiculaire à d et l'autre 3 conjugué au même diamètre.

Si le diamètre d décrit, autour du centre de la surface, un faisceau y de rayons, le plan diamétral £, conjugué à d, décrit un faisceau de plans projectif au faisceau y (275 , ; l'axe g de ce faisceau de plans est conjugué a y. Dans le même temps, le plan diamétral 9it normal à <7, décrit un second faisceau de plans, dont l'axe gt est normal au plan y. Le faisceau de plans g{ est également projectif au faisceau de rayons y: car deux rayons quelconques de celui-ci comprennent entre eux le même angle que les plans du premier qui leur sont respectivement perpendiculaires. Les faisceaux de plans g et gt sont par conséquent projectifs entre eux et engendrent, en général, une surface conique du second ordre. En d'autres termes :

Si un diamètre d de l'ellipsoïde ou de l'hyperboloïde décrit autour du centre un faisceau y de rayons, le diamètre dif qui est conjugué et perpendiculaire à d, décrit en même temps autour du centre une surface conique du second ordre.

Une exception se présente dans le cas où le faisceau y de rayons contient un axe principal de la surface; alors, en effet, les faisceaux de plans g et gi ont comme élément uni le plan diamétral conjugué à l'axe principal, et sont par conséquent perspectifs.

290. Les résultats qui précèdent servent à la recherche des axes principaux dans l'ellipsoïde et dans l'hyperboloïde.

On suppose construites les surfaces coniques du second ordre r et E, relatives à deux faisceaux de diamètres y et s; 1 est choisi de telle sorte qu'un diamètre intérieur et un autre extérieur à la surface conique r soient situés sur E. Les surfaces coniques concentriques r et E se coupent donc, et elles ont au moins deux rayons communs, quatre au plus. Un de ces rayons communs est conjugué et perpendiculaire au rayon commun des faisceaux de diamètres y et s; tout autre rayon a, conjugué et perpendiculaire à un diamètre dans y et à un diamètre dans î, est conjugué et perpendiculaire au plan de ces diamètres, ce qui revient à dire que a est un axe principal de la surface.

Le plan diamétral a, conjugué à a, est un plan de symétrie, car il divise en deux parties égales les cordes qui lui sont perpendiculaires.

L'involution de diamètres conjugués située dans « contient une infinité de couples ou un seul couple de rayons rectangulaires.

Dans le premier cas, le plan x et tous les plans parallèles à « coupent la surface suivant des cercles. La surface est donc engendrée par la rotation d'une ellipse ou d'une hyperbole autour de l'axe a; on la nomme, pour ce motif, surface de rotation.

Dans le second cas, soient b et c les rayons conjugués perpendiculaires : b étant conjugué et perpendiculaire à « et à c; c étant de même conjugué et perpendiculaire à a et à b, il s'ensuit que b et c sont des axes de la surface. Donc :

L'ellipsoïde et Vhyperboloide ont en général trois axes.

On est conduit à des conclusions analogues quand la surface est un cône. En effet, une surface conique du second ordre peut être considérée comme cône asymptote d'un hyperboloïde, et deux diamètres, conjugués par rapport à l'hyperboloïde, sont aussi conjugués par rapport au cône. Donc :

Toute, surface du second ordre [ellipsoïde, hyperlioloïde ou cône) a trois axes perpendiculaires et conjugués entre eux deux à deux, et les trois plans déterminés par ces axes sont des plans de symétrie de la surface.

Quand la surface est de rotation, elle a une infinité d'axes principaux.

ESPACES COLLINÉAIRES ET RÉCIPROQUES. Vi;