I. — Espaces collinéaires et réciproques

291. Deux espaces, S et2t, sont dits collinéaires lorsqu'à tout point P de S correspond un point P, de £<, et à toute droite ou à tout plan de 2, passant par P, respectivement une droite ou un plan de 2,, passant par P,.

Deux espaces, 2 et 2,, sont dits réciproques lorsqu'à tout point P de E correspond un plan 7:, de 2,, et à toute droite ou à tout plan de 2, passant par P, respectivement une droite ou un point de 2, situés sur -,.

Deux espaces collinéaires ou réciproques à un troisième sont collinéaires entre eux (226).

292. Quand deux espaces sont collinéaires, à tout système plan du premier correspond, dans le second, un système plan collinéaire, à toute gerbe une gerbe collinéaire, à toute ponctuelle une ponctuelle projective, etc.

Quand deux espaces sont réciproques, à tout système plan de l'un correspond, dans l'autre, une gerbe réciproque, ù toute ponctuelle un faisceau projectif de plans, etc.

Si les espaces 2 et 2, sont collinéaires, au plan à l'infini de 2

correspond, en général, un plan propre de 2,, et, pareillement, au plan à l'infini de 2n un plan propre de S. Il suit de là que :

Quand deux espaces sojit collinéaires, aux droites parallèles et aux plans parallèles de l'un correspondent respectivement, dans l'autre, des droites et des plans qui se coupent sur le plan correspondant au plan impropre du premier, et vice versa.

Deux espaces étant réciproques, au plan à l'infini, considéré comme élément de l'un, correspond, en général, un point propre dans l'autre. Par suite :

Quand deux espaces sont réciproques, aux droites parallèles et aux plans parallèles de l'un correspondent respectivement? dans V autre, des droites d'un plan passant par le point cpd correspond, au plan impropre du premier et des points d'une droite passant par le même point.

A quatre éléments harmoniques d'un espace, considéré en général, correspondent toujours quatre éléments harmoniques de l'espace collinéaire ou réciproque. Dès lors, et d'après les relations qui viennent d'être établies, deux espaces collinéaires ou réciproques sont aussi projectifs. Il s'ensuit que :

Si, dans deux espaces collinéaires ou réciproques, trois éléments d'une forme fondamentale simple (43) ou encore quatre éléments de même genre d'une forme fondamentale de la seconde espèce fô&'Z) so7it unis, tous les éléments de la forme fondamentale considérée sont unis.

Dans le second cas, toutefois, on doit supposer que trois des quatre éléments donnés n'appartiennent pas à une même formé fondamentale simple.

293. Poni- rapporter réciproquement entre eux deux espaces, 2 et 2,, on prend dans S deux gerbes A, B, et on les rapporte réciproquement aux systèmes plans a{, (3(, situés dans 2,, de telle sorte que la droite AB ait pour correspondante la droite d'intersection a, (3,, et qu'à tout plan commun aux gerbes, passant par •VI), corresponde un point commun aux systèmes plans, si lue sur a,(i,. Dans ces conditions, à tout point P de S correspondra