ESPACES COLLIXÉ.URES ET RÉCIPROQUES

un plan tt, dans 2,, cl à tout rayon /, passant par P, un rayon /,, situé sur 7T | .

En effet, aux rayons AP et BP, situés avec AB dans un même plan, correspondent, dans a, et (3,, deux rayons qui ont un même point commun avec a,^,, et qui déterminent, par suite, un plan t:, correspondant au point P. Pareillement, au rayon / de S, qui est projeté de A et de B au moyen des deux plans \ /, l>/. correspond un rayon /, qui est coupé, par a, et par (30 aux deux points correspondants «,/, et,3|/|.

Si l'on donne dans l'espace S un système plan quelconque e, au moyen duquel les gerbes A et B sont rapportées projectivemenl entre elles, de facon à avoir le faisceau de plans AB uni, les systèmes plans a, et j3, de S, sont en même temps rapportés collinéairement entre eux, de façon à avoir la ponctuelle <xt(5t unie. Conséquemment, c/.K et|3, sont perspectifs (244), et ils engendrent une gerbe qui est en correspondance réciproque avec le système plan e. Au plan e de 2, qui passe par une droite / ou par un point P, correspond donc un point E,, qui est situé sur la droite correspondante /, ou sur le plan correspondant 7T, . Donc :

Deux espace1;, S el. S,, peuvent être rapportés l'un à l'autre, de telle sorte quà deux gerbes A. et B de S correspondent, dans 2, , deux systèmes plans c/.K et j3, réciproques à ces gerbes.

Il suffit pour cela que la réciprocité entre A et as et entre B et Pi soit établie, de telle sorte qu'à tout plan commun aux points A et B corresponde un point commun aux plans a, et [5,. Nous pouvons donc conclure que :

Deux espaces, E et S, , sont rapportés réciproquement entre eux lorsqu'à cinq points A, B, G, D, E du premier [dont quatre quelconques ne sont pas dans un même pieni) on attribue comme correspondants, da/is le second , cinq plans a,, Cjt ,yK, a,, e, [dont quatre quelconques ne passent pas par un même point).

La gerbe A ne peut être rapportée réciproquement au système plan a, que d'une seule manière et de telle sorte qu'aux rayons AB, AC, AD, AE correspondent réciproquement les rayons atfi{, ^i "/i, y-\ o{ , «i e, (231). De même, il n'existe, entre la gerbe B et le système plan [5,, d'autre relation réciproque que celle qu'on

■j\0 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XVIII.

obtient en faisant correspondre les qualre couples de rayons BA et|S,a,, BC et (3, 7,, BD etj3,o,, BE et [3, s,. Kt. puisqu'à trois plans communs ABC, ABD, ABE des gerbes A et B correspondent respectivement les trois points communs z,^,-/,, a, (3,0,, a,(3,e, des systèmes plans a, et |3,, à tout plan du faisceau AB correspondra un point unique de la ponctuelle a, £,. La proposition se trouve ainsi ramenée à celle qui précède.

294. On a de même la proposition suivante, relative aux espaces collinéaires :

Pour rapporter collinéairement deux espaces, EeîEj, il suffit d'assigner comme correspondants :

A cinq points quelconques de l'un, dont quatre ne doivent jamais être sitars dans un même plan , cinq points de l'autre, assujettis à la même condition.

A cinq plans quelconques de l'un, dont quatre ne doivent jamais passer par un même point, cinq plans de l'autre, assujettis à la même condition.

Tout élément <7e 2 a dès lors son correspondant dans S,.

On peut établir cette proposition directement, comme on l'a l'ait pour les espaces réciproques ; mais on la démontre plus simplement en observant que deux espaces réciproques à un troisième sont collinéaires (226, 291), et en ramenant ainsi le cas de collinéation à celui de réciprocité.

On peut, en effet, rapporter les deux espaces proposés à un troisième, en faisant correspondre à cinq plans quelconques de celui-ci, respectivement, cinq points donnés dans chacun des deux premiers. La relation de collinéation est ainsi établie entre les espaces proposés.

On pourrait prendre, au lieu de cinq points dans chacun des espaces, cinq plans, dont quatre ne passent jamais par un même point. Il suit de là que :

Si deux espaces collinéaires ont cinij points unis, dont quatre ne soie/il jamais situés dans un même plan, ou ci ni/ plans unis. do/il /pulire ne passent jamais par un même point, ces espaces ont tous leurs éléments unis et sont identiques.

CORRESPONDANCE DES FORMES D\NS Ul< ESPACES COLLINE AIRES. ETC. 24 1

IL — Correspondance des formes dans les espaces collinéairss ou réciproques.

295. Il est intéressant d'étudier les relations qui existent entre les formes de l'espace qui se correspondent dans les espaces collinéaires ou réciproques. Mais, avant d'aborder ce sujet, nonvons exposer quelques notions relatives aux courbes gauches, qu'on désigne aussi sous le nom de courbes à double courbure

P et Q étant deux points d'une courbe gauche, si l'un d'eux, Q, se meut sur la courbe, la droite PQ décrit une surface conique qui a pour centre P et qui projette la courbe de ce point. Si le point Q va s'approchant du point fixe P, PQ s'approche d'une droite fixe /?, avec laquelle elle finit par coïncider lorsque Q coïncide avec P. Cette droite p est la tangente à la courbe au point P, et l'on dit de tout plan passant par p qu'il touche la courbe au point P. Ln tel plan, passant par un point quelconque R de la courbe, décrira un faisceau de plans p projetant la courbe, lorsque le point R parcourra celle-ci. Si le point R va s'approchant du point P, le plan p}\. ira s'approchant d'un plan fixe îr, avec lequel il finira par coïncider lorsque R. coïncidera avec P. Ce plan r: prend le nom de plan oscillateur de la courbe au point P. On peut donc considérer toute tangente comme la droite de jonction de deux points de la courbe séparés l'un de l'autre par une distance infiniment petite, et tout plan oscillateur comme le plan de jonction de trois points de la courbe assujettis à la même condition.

Toutes les tangentes à une courbe gauche forment dans V espace un faisceau de rayons enveloppant la courbe, et tous les plans oscillateurs un Jaisceau de plans oscillant la même courbe.

296. Soient maintenant k et kt deux courbes gauches qui se correspondent dans des espaces collinéaires. A toute droite qui joint deux points de la courbe k, et à tout plan qui joint trois points de la même courbe, correspondent la droite et le plan qui joignent respectivement les deux points et les trois points correspondants de la courbe Â, . A la tangente et au plan osculateur en un point quelconque de k, correspondent donc aussi respective-

•ll\% GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE XVIII.

ment la tangente et le plan oscillateur au point homologue de /.,.

Si un point P décrit la courbe k, pendant que la tangente p décrit le faisceau de rayons enveloppante et que le plan osculateur t: décrit le faisceau de plans oscillant la courbe, le point P{ parcourt dans le même temps la courbe kt, la tangente correspondante pt décrit le faisceau de rayons enveloppant A,, et le plan osculateur correspondant tt, décrit le faisceau de plans oscillant kt .

On doit observer, enfin, qu'à tout plan coupant la courbe k en n points correspond un plan qui coupe la courbe kx aux n points correspondants, et que si n tangentes à k, ou n plans oscillateurs de k, passent par un point, n tangentes ou n plans oscillateurs de h , passent respectivement par le point correspondant.

Aux points à l'infini de À correspondent d'ailleurs, en général, des points propres de k{, car c'est seulement dans des cas particuliers que le plan à l'infini de l'un des espaces correspond au plan à l'infini de Tau tre.

Si la courbe k se meut suivant une loi donnée et décrit une surface 4>, k i décrit en même temps une surface $, qui correspond à la première.

Ces surfaces sont coupées par deux plans sécants correspondants quelconques suivant deux courbes collinéaircs; et si *P est touchée ou coupée par une droite quelconque en un nombre quelconque de points, O, est touchée ou coupée en autant de points par la droite correspondante. A tout plan tangent à 0 correspond aussi un plan tangent à <£,, etc.

Toutefois, les surfaces collinéaires peuvent présenter des différences essentielles, eu égard à leurs points à l'infini. Ainsi, l'une des surfaces peut être coupée par le plan à l'infini suivant une courbe, tandis que l'autre est touchée par le plan à l'infini en un point, ou même n'est pas rencontrée par ce plan. Les espaces collinéaires dont les plans à l'infini se correspondent constituent en effet un cas particulier, que nous étudierons plus loin (301).

297. Si deux espaces sont réciproques, à une courbe gauche k de l'un correspond dans l'autre une courbe gauche k{ ; à tout point i' de A correspond un plan oscillateur 7r4 de />, ; à toute tangente

ESPACES PERSPECTIFS. o j 3

qui joint deux points de k infiniment voisins, et à tout plan osculateur qui joint trois points de £ infiniment voisins, correspondent respectivement une tangente à A,, suivant laquelle se coupent deux plans oscillateurs de la même courbe, infiniment voisins l'un de l'autre, et un point de ki} où se coupent trois plans osculateurs dans la même condition. A tout plan qui contieni // points d'une courbe ou n tangentes à cette courbe correspond un point par où passent respectivement n plans osculateurs ou n tangentes à la courbe correspondante.