ESPACES ALLIES

Soient P, Q deux parallélépipèdes quelconques dans 2, et Pt, Q, les parallélépipèdes respectivement correspondants dans 24. Soit, dans 2, un troisième parallélépipède R, compris entre deux faces parallèles de P et entre deux faces parallèles de Q, et soit R! le parallélépipède correspondant à R dans Zi- Les parallélépipèdes P et R, compris entre deux mêmes plans parallèles, ont des hauteurs égales et sont entre eux comme leurs bases. Il en est de même des parallélépipèdes Pj et II,. Mais les hases de P et de R sont entre elles comme celles de Pt et de R], puisque ces hases sont contenues dans les systèmes plans alliés (253, 301). Donc

On a, pour la même raison,

Fig- 7

p : r = Pj :R,.

d'où

P:Q = P, :Qi.

Cette dernière proportion démontre le théorème pour le cas des parallélépipèdes correspondants.

Par tout sommet A [fig. 'jo) d'un parallélépipède passent trois arêtes qui unissent ce sommet à trois autres, R, C, D. Le plan diagonal BCD sépare du parallélépipède un tétraèdre ABCD qui en est la sixième partie.

Détachons deux de ces tétraèdres, l'un de P, l'autre de Q ; nous pouvons les considérer comme pris d'une manière quelconque dans le système 2Ì, puisque P et Q ont été choisis arbitrairement. Les tétraèdres correspondants dans 2^ sont des portions dePt et de Qj situées de la même manière; et puisque

nous avons démontré que deux tétraèdres quelconques tìu sj stèrne 2i sont entre eux comme les deux tétraèdres correspondants de 2X.

Le théorème s'étend aux solides limités d'une manière quelconque par des plans, car ces solides peuvent toujours être décomposés en tétraèdres.

Il s'étend aussi aux solides limités par des surfaces courbes, puisqu'il est vrai pour tous les solides à faces planes qu'on peut inscrire ou circonscrire aux premiers.

Quand le rapport de deux solides correspondants est égal à l'unité, les espaces alliés sont dits équivalents. Deux systèmes plans correspondants,

dans deux systèmes solides équivalents, ne sont pas, en général, équivalents, mais seulement alliés.