III. — Surfaces alliées

30Ì. Quand deux surfaces sont alliées, à tout point à l'infini de l'une doit correspondre un point à l'infini de l'autre. Il suit delà que les deux surfaces n'ont aucun point commun avec le plan à l'infini, ou que chacune d'elles est touchée en un point par ce plan, ou enfin que chacune d'elles est coupée par le plan à l'infini suivant une courbe à l'infini.

On sait d'ailleurs (29G) qu'une surface rectiligne ne peut être rapportée collinéairement qu'à une surface rectiligne.

Il résulte de ces deux conditions quo// ne peut allier entre elles que des surfaces du second ordre de la même espèce : par exemple, deux ellipsoïdes, deux hyperboloïdes à une nappe, deux paraboloîdes elliptiques, et ainsi de suite.

A toute série de cordes parallèles d'une surface correspond une série de cordes parallèles dans la surface alliée; au point milieu d'une corde correspond le point milieu de la corde correspondante. On a donc ce théorème :

Dans deu.r surfaces alliées du second ordre, tout plan diamétral a pour correspondant un plan diamétral, tout couple de diamètres conjugués un couple de diamètres conjugués.

305. Pour allier deux paraboloîdes elliptiques, ou deux paraboloîdes hyperboliques, n et n,, ou prend sur chacun d'eux une courbe du second ordre qui ne passe pas par le pointa l'infini du paraboloide dans lequel elle est contenue et qui, par conséquent, ne soit pas une parabole ; on allie les deux courbes entre elles, et cette condition suffit pour qu'à chaque point de n corresponde un point de Ul.

Soient A, B, C trois points de l'une des courbes, /., et D le pôle de son plan par rapporta la surface II; soient, en outre, Al5 BI? Cj les points correspondants de l'autre courbe, Àj, et Dx le pôle de son plan par rapport à II,. Les espaces dans lesquels se trouvent les paraboloîdes sont alors alliés, de telle sorte qu'aux sommets du tétraèdre ABCD correspondent respectivement les sommets du tétraèdre AjBjCjD,.

Mais les systèmes plans ABC, AiBjCi sont eux-mêmes alliés; dès lors, la courbe k a pour correspondante la courbe /.,, et les cônes tangents aux surfaces n et ïl1, au moyen desquels les courbes k et kt sont respectivement projetées de D et de D,, se correspondent entre eux. Les diamètres